(1) 中心が $(4, 2\sqrt{3})$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$ が外接するときの円 $C$ の方程式を求めよ。 (2) 中心が $(0, -2)$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 9 = 0$ が内接するときの円 $C$ の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 中心が $(4, 2\sqrt{3})$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$ が外接するときの円 $C$ の方程式を求めよ。

(2) 中心が $(0, -2)$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 9 = 0$ が内接するときの円 $C$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$ を標準形に変形する。

$x^2 - 4x + y^2 + 3 = 0$

$(x - 2)^2 - 4 + y^2 + 3 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 1$

この円の中心は $(2, 0)$、半径は $1$ である。

円 $C$ の中心 $(4, 2\sqrt{3})$ と円 $(x - 2)^2 + y^2 = 1$ の中心 $(2, 0)$ との距離 $d$ を求める。

$d = \sqrt{(4 - 2)^2 + (2\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

二つの円が外接するとき、中心間の距離は半径の和に等しい。円 $(x - 2)^2 + y^2 = 1$ の半径は $1$ なので、円 $C$ の半径を $r$ とすると、

$4 = r + 1$

$r = 3$

したがって、円 $C$ の方程式は $(x - 4)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 3^2$、つまり $(x - 4)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 9$ である。

(2) 円 $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 9 = 0$ を標準形に変形する。

$x^2 + 6x + y^2 - 4y + 9 = 0$

$(x + 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 + 9 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$

この円の中心は $(-3, 2)$、半径は $2$ である。

円 $C$ の中心 $(0, -2)$ と円 $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$ の中心 $(-3, 2)$ との距離 $d$ を求める。

$d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

二つの円が内接するとき、中心間の距離は半径の差の絶対値に等しい。円 $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$ の半径は $2$ なので、円 $C$ の半径を $r$ とすると、

$5 = |r - 2|$

$r - 2 = 5$ または $r - 2 = -5$

$r = 7$ または $r = -3$

半径は正なので $r = 7$

したがって、円 $C$ の方程式は $(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = 7^2$、つまり $x^2 + (y + 2)^2 = 49$ である。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 4)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 9$

(2) $x^2 + (y + 2)^2 = 49$