テキストp95の問題3を解く。問題は以下の3つ： (1) 水面の円の半径を求める。 (2) 容器に入っている水の体積を求める。 (3) この水の体積は、容器の容積の何分のいくつになるかを求める。 与えられた図は、上が直径12cmの円、下の直径12cmの円、高さ8cmの水の入った容器と、全体の高さ12cmの円錐台の図である。

1. 問題の内容

テキストp95の問題3を解く。問題は以下の3つ：

(1) 水面の円の半径を求める。

(2) 容器に入っている水の体積を求める。

(3) この水の体積は、容器の容積の何分のいくつになるかを求める。

与えられた図は、上が直径12cmの円、下の直径12cmの円、高さ8cmの水の入った容器と、全体の高さ12cmの円錐台の図である。

2. 解き方の手順

(1) 水面の円の半径を求める。

容器の形状は円錐台なので、水面は円となる。相似な三角形の比を利用して水面の円の半径を求める。

全体の高さは12cmで、水の高さは8cmである。

水が入っていない部分は12cm - 8cm = 4cmである。

上部の円錐と全体の円錐台は相似である。

小さい円錐の半径を $r$ とすると、相似比は $4:12 = 1:3$ なので、

$r : 6 = 1:3$

$3r = 6$

$r = 2$ cm

水面の円の半径は2cmである。

(2) 容器に入っている水の体積を求める。

水の体積は、全体の円錐台の体積から、水が入っていない上部の円錐の体積を引けばよい。

全体の円錐台の体積 $V_全体$ は、

$V_全体 = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)$

$R = 6$ cm, $r = 6$ cm, $h = 12$ cm　←台形ではないので、上底と下底の半径は同じです

$V_全体 = \frac{1}{3} \pi (12) (6^2 + 6^2 + 6*6)$　←円柱の体積の間違いです。体積は、底面積 × 高さ

$V_全体 = \pi (12) (36)$ ← 間違いです。

$V_全体 = \pi (12) (36) = 432\pi$　←間違いです。

$V_全体 = (底面積) \times (高さ) = \pi r^2 h = \pi * 6^2 *12 = \pi * 36 * 12 = 432 \pi cm^3$　← 円柱でした。

水が入っていない上部の円錐の体積 $V_上$ は、

$V_上 = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$r = 2$ cm, $h = 4$ cm

$V_上 = \frac{1}{3} \pi (2^2) (4) = \frac{16}{3}\pi$

水の体積 $V_水$ は、

$V_水 = V_全体 - V_上 = 432\pi - \frac{16}{3}\pi = \frac{1296\pi - 16\pi}{3} = \frac{1280}{3}\pi$

(3) この水の体積は、容器の容積の何分のいくつになるか。

$\frac{V_水}{V_全体} = \frac{\frac{1280}{3}\pi}{432\pi} = \frac{1280}{3 \times 432} = \frac{1280}{1296} = \frac{320}{324} = \frac{80}{81}$

3. 最終的な答え

(1) 水面の円の半径：2cm

(2) 容器に入っている水の体積：$\frac{1280}{3}\pi$ cm$^3$

(3) 水の体積は容器の容積の $\frac{80}{81}$ である。