$\triangle OAB$ に対して、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とおく。実数 $s, t$ が $0 \le s \le 2, 0 \le t \le 3$ を満たすとき、点 $P$ の存在する範囲を求める。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ に対して、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とおく。実数 $s, t$ が $0 \le s \le 2, 0 \le t \le 3$ を満たすとき、点 $P$ の存在する範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$s$ と $t$ の範囲をそれぞれ $0 \le s \le 2$ と $0 \le t \le 3$ と設定し、$\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB'} = 3\overrightarrow{OB}$ となる点 $A', B'$ を考える。

このとき、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = \frac{s}{2}(2\overrightarrow{OA}) + \frac{t}{3}(3\overrightarrow{OB}) = \frac{s}{2}\overrightarrow{OA'} + \frac{t}{3}\overrightarrow{OB'}$ となる。

ここで、$\frac{s}{2} = s', \frac{t}{3} = t'$ とおくと、$0 \le s' \le 1, 0 \le t' \le 1$ である。

したがって、$\overrightarrow{OP} = s'\overrightarrow{OA'} + t'\overrightarrow{OB'}$ となる。

$0 \le s' \le 1, 0 \le t' \le 1$ より、点 $P$ の存在する範囲は平行四辺形 $OA'CB'$ の周および内部になる。ここで、$C$ は線分 $OA'$ と線分 $OB'$ を隣り合う辺とする平行四辺形の点$O$の対角の点である。

したがって、点 $P$ の存在する範囲は平行四辺形 $OCED$ の周および内部である。（ただし、$C$ を $D$ とし、$E$ を $A'$、$B'$ とそれぞれ$A$、$B$に対応させて読み替える）。

3. 最終的な答え

①