平面上の2点 $A(-1, 6)$ と $B(3, 2)$ が与えられています。この2点について、以下の3つの点の座標を求めます。 (1) 線分ABを3:1に内分する点 (2) 線分ABの中点 (3) 線分ABを2:3に外分する点

1. 問題の内容

平面上の2点 $A(-1, 6)$ と $B(3, 2)$ が与えられています。この2点について、以下の3つの点の座標を求めます。

(1) 線分ABを3:1に内分する点

(2) 線分ABの中点

(3) 線分ABを2:3に外分する点

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを $m:n$ に内分する点の座標は、

$\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}\right)$ で求められます。

この問題では、$A(-1, 6)$、$B(3, 2)$、$m=3$、$n=1$ なので、内分点の座標は

$\left(\frac{1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3}{3+1}, \frac{1 \cdot 6 + 3 \cdot 2}{3+1}\right) = \left(\frac{-1+9}{4}, \frac{6+6}{4}\right) = \left(\frac{8}{4}, \frac{12}{4}\right) = (2, 3)$

(2) 線分ABの中点の座標は、

$\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ で求められます。

この問題では、$A(-1, 6)$、$B(3, 2)$ なので、中点の座標は

$\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{6+2}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{8}{2}\right) = (1, 4)$

(3) 線分ABを $m:n$ に外分する点の座標は、

$\left(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n}\right)$ で求められます。

この問題では、$A(-1, 6)$、$B(3, 2)$、$m=2$、$n=3$ なので、外分点の座標は

$\left(\frac{-3 \cdot (-1) + 2 \cdot 3}{2-3}, \frac{-3 \cdot 6 + 2 \cdot 2}{2-3}\right) = \left(\frac{3+6}{-1}, \frac{-18+4}{-1}\right) = \left(\frac{9}{-1}, \frac{-14}{-1}\right) = (-9, 14)$

3. 最終的な答え

(1) 線分ABを3:1に内分する点の座標: $(2, 3)$

(2) 線分ABの中点の座標: $(1, 4)$

(3) 線分ABを2:3に外分する点の座標: $(-9, 14)$