与えられた直線、放物線、円をそれぞれ原点を中心に反時計回りに $\frac{\pi}{3}$ だけ回転させたときの関数を求める。 (1) 直線: $y = \sqrt{3}x + 5$ (2) 放物線: $y = \sqrt{3}x^2 + 10$ (3) 円: $(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4$

1. 問題の内容

与えられた直線、放物線、円をそれぞれ原点を中心に反時計回りに $\frac{\pi}{3}$ だけ回転させたときの関数を求める。

(1) 直線: $y = \sqrt{3}x + 5$

(2) 放物線: $y = \sqrt{3}x^2 + 10$

(3) 円: $(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4$

2. 解き方の手順

回転変換の公式を使う。点 $(x, y)$ を原点を中心に $\theta$ 回転させた点を $(x', y')$ とすると、

$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$

$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$

今回の場合は $\theta = \frac{\pi}{3}$ なので、$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$、$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より

$x = \frac{1}{2}x' - \frac{\sqrt{3}}{2}y'$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y'$

(1) 直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ の場合：

上記の回転変換の式を代入すると、

$\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = \sqrt{3}(\frac{1}{2}x' - \frac{\sqrt{3}}{2}y') + 5$

$\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = \frac{\sqrt{3}}{2}x' - \frac{3}{2}y' + 5$

$2y' = 5$

$y' = \frac{5}{2}$

(2) 放物線 $y = \sqrt{3}x^2 + 10$ の場合：

$\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = \sqrt{3}(\frac{1}{2}x' - \frac{\sqrt{3}}{2}y')^2 + 10$

$\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = \sqrt{3}(\frac{1}{4}x'^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}x'y' + \frac{3}{4}y'^2) + 10$

$2\sqrt{3}x' + 2y' = \sqrt{3}x'^2 - 6x'y' + 3\sqrt{3}y'^2 + 40$

$\sqrt{3}x'^2 - 6x'y' + 3\sqrt{3}y'^2 - 2\sqrt{3}x' - 2y' + 40 = 0$

(3) 円 $(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4$ の場合：

$(\frac{1}{2}x' - \frac{\sqrt{3}}{2}y' - 1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' - \sqrt{3})^2 = 4$

$(\frac{1}{4}x'^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}x'y' + \frac{3}{4}y'^2 - x' + \sqrt{3}y' + 1) + (\frac{3}{4}x'^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}x'y' + \frac{1}{4}y'^2 - 3x' - \sqrt{3}y' + 3) = 4$

$x'^2 + y'^2 - 4x' + 4 = 4$

$x'^2 + y'^2 - 4x' = 0$

$(x'-2)^2 + y'^2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{5}{2}$

(2) $\sqrt{3}x^2 - 6xy + 3\sqrt{3}y^2 - 2\sqrt{3}x - 2y + 40 = 0$

(3) $(x-2)^2 + y^2 = 4$