直線 $l$ を $y = (\tan 2\theta)x$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{4}$) とする。$y \geq 0$ の領域にあり、点 $(1, 0)$ で $x$ 軸に接し、直線 $l$ にも接する円を $C_1$ とする。また、$l$ と $C_k$ ($k = 1, 2, 3, \dots$) と $x$ 軸に接する円を $C_{k+1}$ とする。円 $C_k$ の面積を $S_k$ とするとき、$\sum_{k=1}^{\infty} S_k$ を求めよ。ただし、$S_1 > S_2 > S_3 > \dots$ とする。

1. 問題の内容

直線 $l$ を $y = (\tan 2\theta)x$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{4}$) とする。$y \geq 0$ の領域にあり、点 $(1, 0)$ で $x$ 軸に接し、直線 $l$ にも接する円を $C_1$ とする。また、$l$ と $C_k$ ($k = 1, 2, 3, \dots$) と $x$ 軸に接する円を $C_{k+1}$ とする。円 $C_k$ の面積を $S_k$ とするとき、$\sum_{k=1}^{\infty} S_k$ を求めよ。ただし、$S_1 > S_2 > S_3 > \dots$ とする。

2. 解き方の手順

まず、円 $C_k$ の半径を $r_k$ とすると、円 $C_k$ の面積 $S_k$ は $S_k = \pi r_k^2$ となる。

円 $C_1$ の中心は $(1, r_1)$ であり、この中心から直線 $y = (\tan 2\theta)x$ までの距離は $r_1$ である。

点と直線の距離の公式より、

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\frac{|(\tan 2\theta)(1) - r_1|}{\sqrt{(\tan 2\theta)^2 + 1}} = r_1

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|\tan 2\theta - r_1| = r_1 \sqrt{(\tan 2\theta)^2 + 1}

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$\tan 2\theta - r_1 > 0$ より、

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\tan 2\theta - r_1 = r_1 \sqrt{\tan^2 2\theta + 1}

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\tan 2\theta = r_1 (1 + \sqrt{\tan^2 2\theta + 1})

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r_1 = \frac{\tan 2\theta}{1 + \sqrt{\tan^2 2\theta + 1}} = \frac{\tan 2\theta}{1 + \frac{1}{\cos 2\theta}} = \frac{\sin 2\theta \cos 2\theta}{\cos 2\theta + 1} = \frac{\sin 2\theta}{1 + \frac{1}{\cos 2\theta}} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{1 + \frac{1}{\cos 2\theta} } = \frac{\sin 2 \theta \cos 2 \theta}{1+\cos 2\theta } = \frac{\sin 2 \theta}{1 + \frac{1}{\cos 2 \theta}}

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また$1 + \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta, \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$を使うと

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r_1 = \frac{2 \sin \theta \cos \theta \cos 2 \theta}{2 \cos^2 \theta} = \cos 2 \theta \tan \theta

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次に、$r_{k+1} = r_k \tan^2 \theta$ であることが知られている。（証明は省略）

よって、$r_k = r_1 (\tan^2 \theta)^{k-1} = (\cos 2\theta \tan \theta) (\tan^{2(k-1)} \theta) = \cos 2\theta (\tan^{2k-1} \theta)$ である。

したがって、

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S_k = \pi r_k^2 = \pi (\cos^2 2\theta) (\tan^{4k-2} \theta)

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\sum_{k=1}^{\infty} S_k = \pi \cos^2 2\theta \sum_{k=1}^{\infty} (\tan^4 \theta)^{k-1} = \pi \cos^2 2\theta \sum_{k=0}^{\infty} (\tan^4 \theta)^k

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ここで、$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ より、 $0 < \tan \theta < 1$ なので、 $0 < \tan^4 \theta < 1$。

したがって、等比数列の和の公式より、

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\sum_{k=0}^{\infty} (\tan^4 \theta)^k = \frac{1}{1 - \tan^4 \theta}

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したがって、

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\sum_{k=1}^{\infty} S_k = \pi \cos^2 2\theta \cdot \frac{1}{1 - \tan^4 \theta} = \pi \cos^2 2\theta \cdot \frac{1}{1 - \frac{\sin^4 \theta}{\cos^4 \theta}} = \pi \cos^2 2\theta \cdot \frac{\cos^4 \theta}{\cos^4 \theta - \sin^4 \theta}

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= \pi \cos^2 2\theta \cdot \frac{\cos^4 \theta}{(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = \pi \cos^2 2\theta \cdot \frac{\cos^4 \theta}{\cos 2\theta} = \pi \cos 2\theta \cos^4 \theta

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$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ より、

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\sum_{k=1}^{\infty} S_k = \pi (2\cos^2 \theta - 1)\cos^4 \theta = \pi (2 \cos^6 \theta - \cos^4 \theta)

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別の解法

$r_{k+1} = r_k \tan^2 \theta$を使って、

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S_k = \pi r_k^2

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S_{k+1} = \pi r_{k+1}^2 = \pi (r_k \tan^2 \theta)^2 = \pi r_k^2 (\tan^4 \theta) = S_k (\tan^4 \theta)

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したがって、$S_k$ は等比数列である。

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\sum_{k=1}^{\infty} S_k = \frac{S_1}{1 - \tan^4 \theta} = \frac{\pi r_1^2}{1 - \tan^4 \theta} = \frac{\pi (\cos 2\theta \tan \theta)^2}{1 - \tan^4 \theta} = \frac{\pi \cos^2 2\theta \tan^2 \theta}{1 - \tan^4 \theta} = \pi \cos^2 2\theta \tan^2 \theta \frac{1}{1 - \tan^4 \theta}

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= \pi \cos^2 2\theta \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \frac{\cos^4 \theta}{\cos^4 \theta - \sin^4 \theta} = \pi \cos^2 2\theta \sin^2 \theta \cos^2 \theta \frac{1}{(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)} = \pi \cos^2 2\theta \sin^2 \theta \cos^2 \theta \frac{1}{\cos 2\theta}

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= \pi \cos 2\theta \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \pi \cos 2\theta (\sin \theta \cos \theta)^2 = \pi \cos 2\theta (\frac{\sin 2\theta}{2})^2 = \pi \cos 2\theta \frac{\sin^2 2\theta}{4}

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円 $C_1$ が点 $(1, 0)$ で $x$ 軸に接するので、半径 $r_1$ とすると、円の中心は $(1, r_1)$ となる。

この円が直線 $y = (\tan 2\theta)x$ に接するため、点 $(1, r_1)$ と直線 $(\tan 2\theta)x - y = 0$ の距離が $r_1$ となる。

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\frac{|\tan 2\theta - r_1|}{\sqrt{\tan^2 2\theta + 1}} = r_1

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$\tan 2\theta > 0$ なので、$\tan 2\theta - r_1 = r_1 \sqrt{\tan^2 2\theta + 1}$.

$r_1 = \frac{\tan 2\theta}{1 + \sqrt{1 + \tan^2 2\theta}} = \frac{\tan 2\theta}{1 + \sec 2\theta} = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} \frac{\cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \frac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \cos^2 \theta} = \tan \theta$.

$r_1 = \tan \theta$

$S_1 = \pi (\tan \theta)^2 = \pi \tan^2 \theta$

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\sum_{k=1}^{\infty} S_k = \frac{\pi \tan^2 \theta}{1 - \tan^4 \theta} = \frac{\pi \tan^2 \theta}{(1 - \tan^2 \theta)(1 + \tan^2 \theta)} = \frac{\pi \tan^2 \theta}{(1 - \tan^2 \theta)\sec^2 \theta} = \pi \sin^2 \theta \frac{1}{\cos^2 \theta} \frac{\cos^2 \theta}{1 - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}

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\frac{\pi \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} = \frac{\pi \sin^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{\pi \sin^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{\pi}{2} \frac{1-\cos 2\theta}{\cos 2\theta}

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3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sin^2 2\theta}{4\cos 2\theta}$