問題は、与えられた図形の表面積と体積を求めることです。具体的には、(3)円柱、(4)円柱の一部、(5)四角柱、(6)正四角錐の表面積と体積を計算します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた図形の表面積と体積を求めることです。具体的には、(3)円柱、(4)円柱の一部、(5)四角柱、(6)正四角錐の表面積と体積を計算します。

2. 解き方の手順

(3) 円柱

半径 $r = 2$ cm、高さ $h = 10$ cm の円柱の表面積 $S_3$ と体積 $V_3$ を求めます。

表面積: $S_3 = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$

体積: $V_3 = \pi r^2 h$

$S_3 = 2 \pi (2^2) + 2 \pi (2)(10) = 8\pi + 40\pi = 48\pi$ (cm$^2$)

$V_3 = \pi (2^2) (10) = 40\pi$ (cm$^3$)

(4) 円柱の一部

半径 $r = 2$ cm、高さ $h = 10$ cm の半円柱の表面積 $S_4$ と体積 $V_4$ を求めます。

表面積: $S_4 = \pi r^2 + 2rh + \pi r h$

体積: $V_4 = \frac{1}{2} \pi r^2 h$

$S_4 = \pi (2^2) + 2(2)(10) + \pi (2)(10) = 4\pi + 40 + 20\pi = 24\pi + 40$ (cm$^2$)

$V_4 = \frac{1}{2} \pi (2^2) (10) = 20\pi$ (cm$^3$)

(5) 四角柱

縦 $4$ cm、横 $4$ cm、高さ $6$ cm の直方体の表面積 $S_5$ と体積 $V_5$ を求めます。

表面積: $S_5 = 2(4 \cdot 4) + 4(4 \cdot 6) = 2(16) + 4(24) = 32 + 96 = 128$ (cm$^2$)

体積: $V_5 = 4 \cdot 4 \cdot 6 = 96$ (cm$^3$)

(6) 正四角錐

底面の一辺 $a = 6$ cm、高さ $h$ を求めます。側面を構成する三角形の高さ（母線）$l = 5$ cmです。

底面の中心から側面の中点までの距離を $x$ とすると、 $x = a/2 = 3$ cm です。

ピタゴラスの定理より、$h = \sqrt{l^2 - x^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$ cm

底面積 $A = a^2 = 6^2 = 36$ cm$^2$

側面積 $L = 4 \cdot (1/2) \cdot a \cdot l = 4 \cdot (1/2) \cdot 6 \cdot 5 = 60$ cm$^2$

表面積 $S_6 = A + L = 36 + 60 = 96$ cm$^2$

体積 $V_6 = (1/3) A h = (1/3) \cdot 36 \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(3) 円柱

表面積: $48\pi$ cm$^2$

体積: $40\pi$ cm$^3$

(4) 円柱の一部

表面積: $24\pi + 40$ cm$^2$

体積: $20\pi$ cm$^3$

(5) 四角柱

表面積: $128$ cm$^2$

体積: $96$ cm$^3$

(6) 正四角錐

表面積: $96$ cm$^2$

体積: $48$ cm$^3$