与えられた図形（円柱の一部、四角柱、正四角錐）の表面積と体積を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた図形（円柱の一部、四角柱、正四角錐）の表面積と体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(4) 円柱の一部

この図形は、半径2cm、高さ10cmの円柱を半分にしたものです。

まず、円柱全体の表面積と体積を求めます。

円柱の表面積は、

$2 \pi r^2 + 2 \pi r h$

ここで、$r=2$ cm, $h=10$ cmなので、

$2 \pi (2)^2 + 2 \pi (2)(10) = 8\pi + 40\pi = 48\pi$ ($cm^2$)

円柱の体積は、

$\pi r^2 h$

ここで、$r=2$ cm, $h=10$ cmなので、

$\pi (2)^2 (10) = 40\pi$ ($cm^3$)

円柱を半分にした図形の表面積は、円柱の表面積の半分に、長方形の面積を加えます。長方形の面積は、$2r \times h = 4 \times 10 = 40$ ($cm^2$) です。

したがって、求める表面積は、

$48\pi/2 + 40 = 24\pi + 40$ ($cm^2$)

体積は、円柱の体積の半分なので、

$40\pi/2 = 20\pi$ ($cm^3$)

(5) 四角柱

この図形は、底面が4cm x 4cmの正方形、高さが6cmの四角柱です。

表面積は、

$2 \times (4 \times 4) + 4 \times (4 \times 6) = 2 \times 16 + 4 \times 24 = 32 + 96 = 128$ ($cm^2$)

体積は、

$4 \times 4 \times 6 = 16 \times 6 = 96$ ($cm^3$)

(6) 正四角錐

この図形は、底面が6cm x 6cmの正方形、側面の三角形の高さが4cmの正四角錐です。

まず、側面の三角形の面積を求めます。

三角形の面積は、$(1/2) \times \text{base} \times \text{height}$なので、$(1/2) \times 6 \times 5 = 15$ ($cm^2$)です。側面は4つあるので、側面積は $4 \times 15 = 60$ ($cm^2$) です。

底面積は、$6 \times 6 = 36$ ($cm^2$) です。

したがって、表面積は、

$60 + 36 = 96$ ($cm^2$)

次に、体積を求めます。

正四角錐の高さ$h$を求めます。底面の中心から側面の頂点までの距離は、底面の対角線の半分であり、$3\sqrt{2}$となります。高さ$h$は、斜辺が4cm、底辺が$3\sqrt{2}$の直角三角形の高さなので、$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。

あるいは、$\sqrt{5^2-(6/2)^2} = \sqrt{25-9} = 4$

体積は、

$(1/3) \times \text{base area} \times \text{height} = (1/3) \times (6 \times 6) \times 4 = (1/3) \times 36 \times 4 = 12 \times 4 = 48$ ($cm^3$)

3. 最終的な答え

(4) 円柱の一部

表面積: $24\pi + 40$ $cm^2$

体積: $20\pi$ $cm^3$

(5) 四角柱

表面積: $128$ $cm^2$

体積: $96$ $cm^3$

(6) 正四角錐

表面積: $96$ $cm^2$

体積: $48$ $cm^3$