問題は3つあります。 (1) 図1において、関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に点Aがあり、x軸上に点Bがあります。点Aと点Bのx座標はどちらも4です。原点をOとしたとき、三角形OABの面積を求めます。 (2) 図1において、直線OAの式を求めます。 (3) 図2のように、$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に点Aがあり、x軸上に点Bがあります。点Aと点Bのx座標はどちらも4です。y軸上に2点C(0, t), D(0, -t)をとります。三角形ACDの面積が三角形OABの面積の$\frac{1}{3}$倍になるとき、$t$の値を求めます。ただし、$t>0$とします。

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(1) 図1において、関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に点Aがあり、x軸上に点Bがあります。点Aと点Bのx座標はどちらも4です。原点をOとしたとき、三角形OABの面積を求めます。

(2) 図1において、直線OAの式を求めます。

(3) 図2のように、$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に点Aがあり、x軸上に点Bがあります。点Aと点Bのx座標はどちらも4です。y軸上に2点C(0, t), D(0, -t)をとります。三角形ACDの面積が三角形OABの面積の$\frac{1}{3}$倍になるとき、$t$の値を求めます。ただし、$t>0$とします。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle OAB$の面積を求める。

* 点Aの座標は、$y = \frac{1}{2}x^2$ に $x = 4$ を代入して、$y = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = 8$ なので、A(4, 8)。

* 点Bの座標は、(4, 0)。

* 三角形OABの面積は、$\frac{1}{2} \cdot OB \cdot (Aのy座標) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$

(2) 直線OAの式を求める。

* 直線OAは原点を通るので、$y = ax$ とおくことができる。

* 点A(4, 8)を通るので、$8 = 4a$ より $a = 2$。

* したがって、直線OAの式は $y = 2x$。

(3) $t$の値を求める。

* $\triangle OAB$の面積は16 (1)より。$\triangle ACD$の面積は$\frac{1}{3} \times 16 = \frac{16}{3}$

* 点Aの座標は(4, 8)

* 点Cの座標は(0, t)

* 点Dの座標は(0, -t)

* CD間の距離は $t - (-t) = 2t$

* $\triangle ACD$の面積は$\frac{1}{2} \times CD \times (Aのx座標) = \frac{1}{2} \times 2t \times 4 = 4t$

* $4t = \frac{16}{3}$ より $t = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle OAB$の面積: 16

(2) 直線OAの式: $y = 2x$

(3) $t$の値: $t = \frac{4}{3}$