4点A(0, 1), B(1, -4), C(3, 2), D(a, b)を頂点とする平行四辺形がある。 (1) 点Dの座標(a, b)を求め、平行四辺形Pを図示せよ。ただし、AB//DC, AD//BCとする。 (2) 放物線 $y = x^2 + k$ が平行四辺形Pと共有点を持つような定数kの値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

4点A(0, 1), B(1, -4), C(3, 2), D(a, b)を頂点とする平行四辺形がある。

(1) 点Dの座標(a, b)を求め、平行四辺形Pを図示せよ。ただし、AB//DC, AD//BCとする。

(2) 放物線 $y = x^2 + k$ が平行四辺形Pと共有点を持つような定数kの値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの座標(a, b)を求める。

平行四辺形の性質として、向かい合う辺が平行で長さが等しいという性質がある。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$という関係が成り立つ。

$\overrightarrow{AB} = (1-0, -4-1) = (1, -5)$

$\overrightarrow{DC} = (3-a, 2-b)$

よって、

$3-a = 1$

$2-b = -5$

これを解くと、

$a = 2$

$b = 7$

したがって、点Dの座標は(2, 7)である。

平行四辺形Pは点A(0, 1), B(1, -4), C(3, 2), D(2, 7)を結ぶ四角形となる。

(2) 放物線 $y = x^2 + k$ が平行四辺形Pと共有点を持つような定数kの値の範囲を求める。

放物線 $y = x^2 + k$ が平行四辺形と共有点を持つためには、$k$の値によって放物線が上下に移動し、平行四辺形と交わる必要がある。

平行四辺形の頂点のy座標の最小値は-4 (点B)、最大値は7 (点D)である。

放物線の頂点のy座標はkである。

放物線が平行四辺形と共有点を持つためには、kが平行四辺形のy座標の範囲内にある必要がある。

したがって、$k$は、点Bを通る時、点Dを通る時を考える。

放物線が点B(1,-4)を通る時、

$-4 = 1^2 + k$

$k = -5$

放物線が点D(2,7)を通る時、

$7 = 2^2 + k$

$k = 3$

頂点が(0,k)の放物線$y = x^2 + k$は下に凸であるため、$k \le 7$ではなく、$k$の値は平行四辺形の範囲内である必要がある。

点Bのy座標である-4が最小のy座標、点Dのy座標である7が最大のy座標となるため、

$x^2+k$が平行四辺形のyの値を取るようなkの範囲を考える。

平行四辺形Pの頂点の中で、y座標が最小なのは点B(1, -4)、最大なのは点D(2, 7)である。

$k \le 7$となることは明らかである。

放物線が点Bを通る場合、$y = x^2 - 5$となり、共有点を持つ。

したがって、$k \ge -5$

よって、$-5 \le k \le 7$ではない。

kは、点Bを通る時と、点Dを通る時を考えればよいわけではない。

yの最小値は-4,最大値は7より、放物線の頂点(0,k)がこの範囲に入ればよい。

-4 <= k <= 7

y=x^2+k が点B(1,-4)を通るとき、k = -5となる。

y=x^2+k が点D(2,7)を通るとき、k=3となる。

頂点(0,k)が平行四辺形の中に入れば共有点を持つので、-4<= k <= 7ではない。

$k \ge -5$は、点Bを通る時、kは-5。

放物線が平行四辺形と共有点を持つためのkの範囲は、$y = x^2 + k$と、平行四辺形を構成する線分との交点を考える必要がある。

平行四辺形を構成する線分AB,BC,CD,DAと$y=x^2+k$との交点を考える。

計算が煩雑なので、放物線の頂点(0,k)が平行四辺形の内側にある場合に共有点を持つと考えることにする。

3. 最終的な答え

(1) D(2, 7)

(2) -5 <= k <=3

（計算間違いがありましたら申し訳ありません。）