原点をO(0,0,0)とするxyz空間内の3点をA(1,3,-9), B(-1,2,-1), C(-2,0,6)とする。点A,B,Cを通る平面を平面IIとする。また、点Pの座標を(7,6,-5)とし、点Pを通り平面IIに垂直な直線を直線lとする。 (1) 平面IIの方程式を求めなさい。 (2) 直線lと平面IIとの交点を点Hとする。ベクトルPHのノルム(長さ)||PH||が最小になるときの点Hの座標とそのときの||PH||を求めなさい。

1. 問題の内容

原点をO(0,0,0)とするxyz空間内の3点をA(1,3,-9), B(-1,2,-1), C(-2,0,6)とする。点A,B,Cを通る平面を平面IIとする。また、点Pの座標を(7,6,-5)とし、点Pを通り平面IIに垂直な直線を直線lとする。

(1) 平面IIの方程式を求めなさい。

(2) 直線lと平面IIとの交点を点Hとする。ベクトルPHのノルム(長さ)||PH||が最小になるときの点Hの座標とそのときの||PH||を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 平面IIの方程式を求める。

平面IIは点A, B, Cを通るので、ベクトルABとベクトルACに垂直なベクトルが平面IIの法線ベクトルとなる。

$AB = B - A = (-1, 2, -1) - (1, 3, -9) = (-2, -1, 8)$

$AC = C - A = (-2, 0, 6) - (1, 3, -9) = (-3, -3, 15)$

ABとACの外積を計算して法線ベクトルnを求める。

$n = AB \times AC = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(15) - (8)(-3) \\ (8)(-3) - (-2)(15) \\ (-2)(-3) - (-1)(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 + 24 \\ -24 + 30 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}$

法線ベクトルnは(9, 6, 3)なので、(3, 2, 1)も法線ベクトルとなる。

平面IIの方程式は、3x + 2y + z + d = 0と表せる。

平面IIは点A(1,3,-9)を通るので、これを代入すると、

3(1) + 2(3) + (-9) + d = 0

3 + 6 - 9 + d = 0

d = 0

したがって、平面IIの方程式は3x + 2y + z = 0となる。

(2) 直線lと平面IIの交点Hの座標と||PH||を求める。

直線lは点P(7,6,-5)を通り、法線ベクトルn = (3,2,1)に平行なので、直線lの方程式は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

と表せる。

したがって、

$x = 7 + 3t$

$y = 6 + 2t$

$z = -5 + t$

点Hは直線l上にあるので、Hの座標は(7+3t, 6+2t, -5+t)と表せる。

また、点Hは平面II上にあるので、3x + 2y + z = 0を満たす。

3(7+3t) + 2(6+2t) + (-5+t) = 0

21 + 9t + 12 + 4t - 5 + t = 0

14t + 28 = 0

t = -2

点Hの座標は、(7+3(-2), 6+2(-2), -5+(-2)) = (7-6, 6-4, -5-2) = (1, 2, -7)

ベクトルPH = H - P = (1, 2, -7) - (7, 6, -5) = (-6, -4, -2)

||PH|| = $\sqrt{(-6)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

(1) 平面IIの方程式: $3x + 2y + z = 0$

(2) 点Hの座標: $(1, 2, -7)$

||PH||: $2\sqrt{14}$