線分ABを1:4に外分する点Cについて、ベクトル$\overrightarrow{OC}$をベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表す問題です。画像には途中まで計算過程が示されていますが、空欄を埋めて計算を完了させる必要があります。

1. 問題の内容

線分ABを1:4に外分する点Cについて、ベクトル$\overrightarrow{OC}$をベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表す問題です。画像には途中まで計算過程が示されていますが、空欄を埋めて計算を完了させる必要があります。

2. 解き方の手順

画像の計算過程を参考に、$\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表します。

まず、$\overrightarrow{OC}$は次のように表されます。

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + (\frac{1}{3} - \frac{2}{3})\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + (-\frac{1}{3})\overrightarrow{AB}$

次に、$\overrightarrow{AB}$を$\overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{OA}$で表します。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

これを$\overrightarrow{OC}$の式に代入します。

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} - \frac{1}{3}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$

$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で整理します。

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OC} = \frac{4}{3}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

画像の式を辿ると、以下のようになります。

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + (\frac{1}{3} - \frac{2}{3})\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} - \frac{1}{3}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$

$\overrightarrow{OC} = \frac{4}{3}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

画像には$\overrightarrow{OC} = \frac{4}{5}\overrightarrow{OA} - \frac{6}{7}\overrightarrow{OB}$とありますが、これは誤りです。正しくは$\frac{4}{3}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$です。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OC} = \frac{4}{3}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$