$0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $\cos(90^\circ - \theta) + \cos \theta + \cos(90^\circ + \theta) - \sin(90^\circ + \theta)$ (2) $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin(180^\circ - \theta) + \cos \theta + \cos(180^\circ - \theta) + \sin \theta$ (3) $\tan(90^\circ - \theta) \times \tan(180^\circ - \theta)$

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $\cos(90^\circ - \theta) + \cos \theta + \cos(90^\circ + \theta) - \sin(90^\circ + \theta)$

(2) $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin(180^\circ - \theta) + \cos \theta + \cos(180^\circ - \theta) + \sin \theta$

(3) $\tan(90^\circ - \theta) \times \tan(180^\circ - \theta)$

2. 解き方の手順

(1)

$\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$

$\cos(90^\circ + \theta) = - \sin \theta$

$\sin(90^\circ + \theta) = \cos \theta$

をそれぞれ代入すると、

$\sin \theta + \cos \theta - \sin \theta - \cos \theta = 0$

(2)

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$

$\cos(180^\circ - \theta) = - \cos \theta$

をそれぞれ代入すると、

$\sin \theta + \cos \theta - \cos \theta + \sin \theta = 2 \sin \theta$

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

(3)

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$

$\tan(180^\circ - \theta) = - \tan \theta$

をそれぞれ代入すると、

$\frac{1}{\tan \theta} \times (-\tan \theta) = -1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{2}{3}$

(3) -1