点A(2, 2)と点B(6, 4)が与えられている。x軸上に点Pを取り、AP + BPの長さが最小となるようにするとき、直線APの式と点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(2, 2)と点B(6, 4)が与えられている。x軸上に点Pを取り、AP + BPの長さが最小となるようにするとき、直線APの式と点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A(2, 2)のx軸に関する対称点A'の座標を求める。対称点のy座標は符号が反転するので、A'(2, -2)となる。

(2) A'とBを通る直線の式を求める。直線の傾きmは、$m = \frac{4 - (-2)}{6 - 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$となる。

(3) 直線は点B(6, 4)を通るので、直線の式を$y = \frac{3}{2}x + b$とおき、点Bの座標を代入する。$4 = \frac{3}{2} \cdot 6 + b$より、$4 = 9 + b$となり、$b = -5$である。したがって、直線A'Bの式は、$y = \frac{3}{2}x - 5$となる。

(4) 点Pはx軸上にあるので、y座標は0である。直線A'Bの式に$y = 0$を代入すると、$0 = \frac{3}{2}x - 5$となる。この式を解くと、$\frac{3}{2}x = 5$より、$x = \frac{10}{3}$である。したがって、点Pの座標は$(\frac{10}{3}, 0)$となる。

(5) AとPを通る直線の傾きmは、$m = \frac{2 - 0}{2 - \frac{10}{3}} = \frac{2}{\frac{6 - 10}{3}} = \frac{2}{\frac{-4}{3}} = 2 \cdot \frac{-3}{4} = -\frac{3}{2}$となる。

(6) 直線APの式を$y = -\frac{3}{2}x + c$とおき、点A(2, 2)の座標を代入する。$2 = -\frac{3}{2} \cdot 2 + c$より、$2 = -3 + c$となり、$c = 5$である。したがって、直線APの式は、$y = -\frac{3}{2}x + 5$となる。

3. 最終的な答え

直線APの式：$y = -\frac{3}{2}x + 5$

点Pの座標：$(\frac{10}{3}, 0)$