(1) 直線 $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ と $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ が $x$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ とする。$\alpha$, $\beta$ を求めよ。また、2直線 $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ と $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ のなす鋭角を求めよ。ただし、$0^\circ < \alpha < 180^\circ$, $0^\circ < \beta < 180^\circ$ とする。 (2) 2直線 $y = -\sqrt{3}x$ と $y = x + 1$ のなす鋭角を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 直線 $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ と $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ が $x$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ とする。$\alpha$, $\beta$ を求めよ。また、2直線 $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ と $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ のなす鋭角を求めよ。ただし、$0^\circ < \alpha < 180^\circ$, $0^\circ < \beta < 180^\circ$ とする。

(2) 2直線 $y = -\sqrt{3}x$ と $y = x + 1$ のなす鋭角を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $y = mx$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とすると、$\tan \theta = m$ が成り立つ。

直線 $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ について、$\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。$0^\circ < \alpha < 180^\circ$ より、$\alpha = 150^\circ$ である。

直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ について、$\tan \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。$0^\circ < \beta < 180^\circ$ より、$\beta = 30^\circ$ である。

2直線のなす角 $\theta$ は $|\alpha - \beta|$ または $180^\circ - |\alpha - \beta|$ で求められる。

$|\alpha - \beta| = |150^\circ - 30^\circ| = 120^\circ$

$180^\circ - |\alpha - \beta| = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

したがって、なす鋭角は $60^\circ$ である。

(2)

直線 $y = -\sqrt{3}x$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta_1$ とすると、$\tan \theta_1 = -\sqrt{3}$ である。$0^\circ < \theta_1 < 180^\circ$ より、$\theta_1 = 120^\circ$ である。

直線 $y = x + 1$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta_2$ とすると、$\tan \theta_2 = 1$ である。$0^\circ < \theta_2 < 180^\circ$ より、$\theta_2 = 45^\circ$ である。

2直線のなす角 $\theta$ は $|\theta_1 - \theta_2|$ または $180^\circ - |\theta_1 - \theta_2|$ で求められる。

$|\theta_1 - \theta_2| = |120^\circ - 45^\circ| = 75^\circ$

$180^\circ - |\theta_1 - \theta_2| = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

したがって、なす鋭角は $75^\circ$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 150^\circ$, $\beta = 30^\circ$, 鋭角は $60^\circ$

(2) 鋭角は $75^\circ$