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$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の条件下で、以下の三角関数の値を求めます。 (1) $\sin \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。 (2) $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。 (3) $\tan \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

幾何学三角関数三角比sincostan角度
2025/8/4

1. 問題の内容

0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ の条件下で、以下の三角関数の値を求めます。
(1) sin⁡θ=23\sin \theta = \frac{2}{3} のとき、cos⁡θ\cos \theta と tan⁡θ\tan \theta の値を求めよ。
(2) cos⁡θ=−13\cos \theta = -\frac{1}{3} のとき、sin⁡θ\sin \theta と tan⁡θ\tan \theta の値を求めよ。
(3) tan⁡θ=12\tan \theta = \frac{1}{2} のとき、sin⁡θ\sin \theta と cos⁡θ\cos \theta の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ=23\sin \theta = \frac{2}{3} のとき
* sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より、cos⁡2θ=1−sin⁡2θ=1−(23)2=1−49=59\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}
* よって、cos⁡θ=±53\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}
* 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ より、sin⁡θ≥0\sin \theta \ge 0 なので、θ\theta は第1象限または第2象限の角。
* cos⁡θ\cos \theta の符号は、θ\theta が第1象限なら正、第2象限なら負。
* 問題文に条件が不足しており、θ\thetaが鋭角か鈍角かが不明。
* θ\thetaが鋭角の場合、cos⁡θ=53\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}。tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=2/35/3=25=255\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2/3}{\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
* θ\thetaが鈍角の場合、cos⁡θ=−53\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}。tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=2/3−5/3=−25=−255\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2/3}{-\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}
(2) cos⁡θ=−13\cos \theta = -\frac{1}{3} のとき
* sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より、sin⁡2θ=1−cos⁡2θ=1−(−13)2=1−19=89\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
* よって、sin⁡θ=±223\sin \theta = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}
* 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ より、sin⁡θ≥0\sin \theta \ge 0 なので、sin⁡θ=223\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}
* tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=22/3−1/3=−22\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2\sqrt{2}/3}{-1/3} = -2\sqrt{2}
(3) tan⁡θ=12\tan \theta = \frac{1}{2} のとき
* tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=12\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{2} より、cos⁡θ=2sin⁡θ\cos \theta = 2 \sin \theta
* sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より、sin⁡2θ+(2sin⁡θ)2=1\sin^2 \theta + (2 \sin \theta)^2 = 1
* sin⁡2θ+4sin⁡2θ=5sin⁡2θ=1\sin^2 \theta + 4 \sin^2 \theta = 5 \sin^2 \theta = 1
* sin⁡2θ=15\sin^2 \theta = \frac{1}{5}
* よって、sin⁡θ=±15=±55\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}
* 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ より、sin⁡θ≥0\sin \theta \ge 0 なので、sin⁡θ=55\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}
* cos⁡θ=2sin⁡θ=255\cos \theta = 2 \sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}

3. 最終的な答え

(1) sin⁡θ=23\sin \theta = \frac{2}{3} のとき
* θ\thetaが鋭角の場合：cos⁡θ=53\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}, tan⁡θ=255\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}
* θ\thetaが鈍角の場合：cos⁡θ=−53\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}, tan⁡θ=−255\tan \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}
(2) cos⁡θ=−13\cos \theta = -\frac{1}{3} のとき：
sin⁡θ=223\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}, tan⁡θ=−22\tan \theta = -2\sqrt{2}
(3) tan⁡θ=12\tan \theta = \frac{1}{2} のとき：
sin⁡θ=55\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}, cos⁡θ=255\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}

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