(1) $|AB| = 2$, $|AC| = 3$, $AB \cdot AC = 1$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。 (2) $A(1,0)$, $B(3,1)$, $C(5,4)$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。 また、点 $P(a, -1, -2)$ が 3 点 $A(2, 1, 3)$, $B(3, 2, 4)$, $C(5, 2, 5)$ で作られる平面 $ABC$ 上にあるとき、実数 $s, t$ を用いて $\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ と表せる。このとき、$s, t$ の値と $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $|AB| = 2$, $|AC| = 3$, $AB \cdot AC = 1$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

(2) $A(1,0)$, $B(3,1)$, $C(5,4)$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

また、点 $P(a, -1, -2)$ が 3 点 $A(2, 1, 3)$, $B(3, 2, 4)$, $C(5, 2, 5)$ で作られる平面 $ABC$ 上にあるとき、実数 $s, t$ を用いて $\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ と表せる。このとき、$s, t$ の値と $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \sqrt{|AB|^2 |AC|^2 - (AB \cdot AC)^2}$

で計算できる。与えられた値を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \sqrt{2^2 \cdot 3^2 - 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 - 1} = \frac{\sqrt{35}}{2}$

(2) $A(1,0)$, $B(3,1)$, $C(5,4)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} |(3-1)(4-0) - (5-1)(1-0)| = \frac{1}{2} |2 \cdot 4 - 4 \cdot 1| = \frac{1}{2} |8 - 4| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

次に、$P(a, -1, -2)$, $A(2, 1, 3)$, $B(3, 2, 4)$, $C(5, 2, 5)$ について考える。

$\vec{AP} = (a-2, -2, -5)$

$\vec{AB} = (1, 1, 1)$

$\vec{AC} = (3, 1, 2)$

$\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ より、

$(a-2, -2, -5) = s(1, 1, 1) + t(3, 1, 2)$

$a - 2 = s + 3t$

$-2 = s + t$

$-5 = s + 2t$

2 つ目の式と 3 つ目の式から、$t = -3$ となる。

これを 2 つ目の式に代入すると、$s = -2 - t = -2 - (-3) = 1$ となる。

$a - 2 = s + 3t = 1 + 3(-3) = 1 - 9 = -8$

$a = -8 + 2 = -6$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{\sqrt{35}}{2}$

(2) $S = 2$

$s = 1, t = -3$

$a = -6$