$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $BC$ と線分 $AD$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$ および $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す問題を解く。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $BC$ と線分 $AD$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$ および $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す問題を解く。

2. 解き方の手順

(1) 点 $C$ は辺 $OA$ を $3:1$ に内分するので、

$$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{3+1} \overrightarrow{OA} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OA}$$

点 $D$ は辺 $OB$ を $2:1$ に内分するので、

$$\overrightarrow{OD} = \frac{2}{2+1} \overrightarrow{OB} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$$

(2) 点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、$s$ を実数として、

$$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OB} + s\overrightarrow{OC} = (1-s)\overrightarrow{OB} + s \cdot \frac{3}{4} \overrightarrow{OA} = \frac{3s}{4} \overrightarrow{OA} + (1-s)\overrightarrow{OB}$$

また、点 $P$ は線分 $AD$ 上にあるので、$t$ を実数として、

$$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OD} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t \cdot \frac{2}{3} \overrightarrow{OB} = (1-t)\overrightarrow{OA} + \frac{2t}{3} \overrightarrow{OB}$$

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$$\frac{3s}{4} = 1-t$$

$$1-s = \frac{2t}{3}$$

これらの連立方程式を解く。

$$\frac{3s}{4} = 1-t \implies 3s = 4 - 4t$$

$$1-s = \frac{2t}{3} \implies 3 - 3s = 2t \implies 3s = 3 - 2t$$

したがって、

$$4-4t = 3-2t \implies 1 = 2t \implies t = \frac{1}{2}$$

$$3s = 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 1 = 2 \implies s = \frac{2}{3}$$

よって、

$$\overrightarrow{OP} = (1 - \frac{1}{2})\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OB} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{6}$$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3(\overrightarrow{OA}) + 2(\overrightarrow{OB})}{6} = \frac{3}{6} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{6} \overrightarrow{OB}$

したがって、

$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OD} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OC} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{OP} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{6}$