2点A(-2, 2)と点C(0, 6)を通る直線上に点Bがあり、AC:CB = 1:3である。このとき、以下の問題を解く。 (1) 点Bの座標を求めよ。 (2) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。 (3) △OABの面積を求めよ。 (4) x軸に平行な直線lが△OABの面積を2等分するとき、直線lとy軸との交点P(0, t)のtの値を求めよ。

1. 問題の内容

2点A(-2, 2)と点C(0, 6)を通る直線上に点Bがあり、AC:CB = 1:3である。このとき、以下の問題を解く。

(1) 点Bの座標を求めよ。

(2) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。

(3) △OABの面積を求めよ。

(4) x軸に平行な直線lが△OABの面積を2等分するとき、直線lとy軸との交点P(0, t)のtの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Bの座標を求める。

点Cは線分ABを1:3に内分する点である。点Bの座標を(x, y)とすると、内分点の公式より

$0 = \frac{3 \cdot (-2) + 1 \cdot x}{1 + 3}$

$6 = \frac{3 \cdot 2 + 1 \cdot y}{1 + 3}$

これらの式を解くと、

$0 = -6 + x$

$x = 6$

$24 = 6 + y$

$y = 18$

したがって、点Bの座標は(6, 18)である。

(2) 2点A, Bを通る直線の式を求める。

2点A(-2, 2), B(6, 18)を通る直線の傾きは、

$\frac{18 - 2}{6 - (-2)} = \frac{16}{8} = 2$

よって、直線の式は $y = 2x + b$ と表せる。点A(-2, 2)を通るので、

$2 = 2 \cdot (-2) + b$

$2 = -4 + b$

$b = 6$

したがって、直線の式は $y = 2x + 6$である。

(3) △OABの面積を求める。

△OABの面積は、線分ABの式$y=2x+6$においてy軸との交点であるC(0, 6)を求め、点Aと点Bからx軸へ垂線を下ろし、その交点をそれぞれD, Eとする。台形ADEBの面積から、△ADOと△OBEの面積を引けばよい。

台形ADEBの面積は

$\frac{(AD+BE) \cdot DE}{2} = \frac{(2+18) \cdot (6-(-2))}{2} = \frac{20 \cdot 8}{2} = 80$

△ADOの面積は

$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$

△OBEの面積は

$\frac{1}{2} \cdot BE \cdot OE = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6 = 54$

したがって、△OABの面積は

$80 - 2 - 54 = 24$

もしくは、C(0,6)から、△OABの面積は、△OACと△OBCの面積の和として求めることが可能。

ACを底辺とすると、高さはAのx座標の絶対値から2。

BCを底辺とすると、高さはBのx座標である6。

$△OAC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$

$△OBC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$

$△OAB = △OAC + △OBC = 6+18 = 24$

(4) x軸に平行な直線lが△OABの面積を2等分するとき、tの値を求める。

直線lはy = tと表される。△OABの面積は24なので、直線lによって分割された面積は12となる。

直線lと線分ABとの交点をQとすると、Qの座標は(x, t)となる。

直線ABの式はy = 2x + 6なので、t = 2x + 6となり、x = (t - 6) / 2。

△PABの面積が12となるようにtの値を求めればよい。

△PABの底辺をPBとすると、長さは18 - t。高さはBのx座標から6。

△PAQの底辺をAPとすると、長さはt - 2。高さはAのx座標の絶対値から2。

$△PAB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (18-t) = 3 \cdot (18 - t) = 54 - 3t$

$△PAQ = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (t-2) = t - 2$

$54 - 3t - (t-2) = 24$

△OABの面積の半分である12となるのは、線分OAの下側ではなく、上側であるので

台形APOBの面積が12となるように考える。

点Aからy=tとの交点までの距離をdとすると、$d=t-2$

点Bからy=tとの交点までの距離をeとすると、$e=18-t$

台形APOBの面積は$\frac{1}{2} \cdot (2+6) \cdot t = 4t = 12$

と仮定してはいけない。

$△OAB = 24$なので、$△OAB$の面積を二等分する線は、直線$y=t$である。

直線$y=t$と直線AB、$y=2x+6$の交点を$Q(x,t)$とすると、$t=2x+6$より、$x=\frac{t-6}{2}$

$△OQP = \frac{1}{2} \times t \times \frac{6-t}{2} = 12$

$t(6-t) = 24 \times 2 = 48$

$6t-t^2=48$

$t^2-6t+48=0$

解なし。

△OABの面積を二等分するということは、OAからOQの範囲で面積を二等分するか、OBからOQの範囲で面積を二等分するか。

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標: (6, 18)

(2) 直線の式: y = 2x + 6

(3) △OABの面積: 24

(4) tの値: 解なし