$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ のとき、以下の各問題について、指定された三角関数の値から、残りの三角関数の値を求めよ。 (1) $\sin \theta = \frac{3}{5}$ のとき、 $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。 (2) $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、 $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。 (3) $\tan \theta = -\frac{2}{1}$ のとき、 $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ のとき、以下の各問題について、指定された三角関数の値から、残りの三角関数の値を求めよ。

(1) $\sin \theta = \frac{3}{5}$ のとき、 $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、 $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

(3) $\tan \theta = -\frac{2}{1}$ のとき、 $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{3}{5}$ のとき

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、 $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ なので、$\sin \theta \geqq 0$ である。

$\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$

$\sin \theta = \frac{3}{5} > 0$ より、$\theta$ は第1象限または第2象限の角である。

$\cos \theta$ が正の場合、$\theta$は第1象限の角である。$\cos \theta$ が負の場合、$\theta$は第2象限の角である。

したがって、 $\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$ となる。

$\cos \theta = \frac{4}{5}$ のとき、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$

$\cos \theta = -\frac{4}{5}$ のとき、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ のとき

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、 $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ なので、 $\sin \theta \geqq 0$ である。

したがって、 $\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}$

(3) $\tan \theta = -2$ のとき

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、$\frac{1}{\cos^2 \theta} = (-2)^2 + 1 = 4+1 = 5$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan \theta < 0$ より、$\theta$ は第2象限の角であるから、$\cos \theta < 0$ 、$\sin \theta > 0$ となる。

したがって、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = (-2) \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{4}{5}$ のとき $\tan \theta = \frac{3}{4}$、$\cos \theta = -\frac{4}{5}$ のとき $\tan \theta = -\frac{3}{4}$

(2) $\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$、$\tan \theta = -2\sqrt{2}$

(3) $\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$