(1) 次の三角比を45°以下の角の三角比で表す。 (ア) $\sin 58^\circ$ (イ) $\cos 56^\circ$ (ウ) $\tan 80^\circ$ (2) $\triangle ABC$ の3つの内角を $A, B, C$ とするとき、等式 $\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B+C}{2}$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

(1) 次の三角比を45°以下の角の三角比で表す。

(ア) $\sin 58^\circ$

(イ) $\cos 56^\circ$

(ウ) $\tan 80^\circ$

(2) $\triangle ABC$ の3つの内角を $A, B, C$ とするとき、等式 $\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B+C}{2}$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) $\sin \theta = \cos (90^\circ - \theta)$ の関係を用いる。

$\sin 58^\circ = \cos (90^\circ - 58^\circ) = \cos 32^\circ$

(イ) $\cos \theta = \sin (90^\circ - \theta)$ の関係を用いる。

$\cos 56^\circ = \sin (90^\circ - 56^\circ) = \sin 34^\circ$

(ウ) $\tan \theta = \frac{1}{\tan (90^\circ - \theta)}$ の関係を用いる。

$\tan 80^\circ = \frac{1}{\tan (90^\circ - 80^\circ)} = \frac{1}{\tan 10^\circ}$

(2)

$\triangle ABC$ の内角の和は $180^\circ$ なので、

$A + B + C = 180^\circ$

$B + C = 180^\circ - A$

$\frac{B + C}{2} = \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$

$\cos \frac{B+C}{2} = \cos (90^\circ - \frac{A}{2})$

$\cos (90^\circ - \frac{A}{2}) = \sin \frac{A}{2}$

よって、$\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B+C}{2}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\cos 32^\circ$

(イ) $\sin 34^\circ$

(ウ) $\frac{1}{\tan 10^\circ}$

(2)

証明終わり