三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $BC = 13$, $CA = 8$とする。角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。 (1) 角BACの大きさと、三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 三角形ABCの面積は、三角形ABDの面積と三角形ACDの面積の和に等しいことを利用して、ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $BC = 13$, $CA = 8$とする。角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。

(1) 角BACの大きさと、三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 三角形ABCの面積は、三角形ABDの面積と三角形ACDの面積の和に等しいことを利用して、ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、余弦定理を用いて角BACを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC) \cos{\angle BAC}$

$13^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8) \cos{\angle BAC}$

$169 = 49 + 64 - 112 \cos{\angle BAC}$

$56 = -112 \cos{\angle BAC}$

$\cos{\angle BAC} = -\frac{1}{2}$

$\angle BAC = 120^{\circ}$

次に、三角形ABCの面積を求める。

$S = \frac{1}{2} (AB)(AC) \sin{\angle BAC}$

$S = \frac{1}{2} (7)(8) \sin{120^{\circ}}$

$S = \frac{1}{2} (7)(8) \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 14\sqrt{3}$

(2)

角の二等分線の性質より、BD:DC = AB:AC = 7:8。

よって、$BD = \frac{7}{15} BC = \frac{7}{15} \times 13 = \frac{91}{15}$

$DC = \frac{8}{15} BC = \frac{8}{15} \times 13 = \frac{104}{15}$

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$

$14\sqrt{3} = \frac{1}{2} (AB)(AD) \sin{60^{\circ}} + \frac{1}{2} (AC)(AD) \sin{60^{\circ}}$

$14\sqrt{3} = \frac{1}{2} (7)(AD) \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (8)(AD) \frac{\sqrt{3}}{2}$

$14\sqrt{3} = \frac{7\sqrt{3}}{4} AD + \frac{8\sqrt{3}}{4} AD$

$14\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3}}{4} AD$

$AD = \frac{14 \times 4}{15}$

$AD = \frac{56}{15}$

3. 最終的な答え

$\angle BAC = 120^{\circ}$

$\triangle ABC = 14\sqrt{3}$

$AD = \frac{56}{15}$