(1) 点 $(0, 1, 3)$ を通り、平面 $3x - 4y + z - 2 = 0$ に平行な平面の方程式を求めよ。 (2) 3点 $(1, -1, 2), (-2, 1, 3), (3, 1, 8)$ を通る平面の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 点 $(0, 1, 3)$ を通り、平面 $3x - 4y + z - 2 = 0$ に平行な平面の方程式を求めよ。

(2) 3点 $(1, -1, 2), (-2, 1, 3), (3, 1, 8)$ を通る平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平面 $3x - 4y + z - 2 = 0$ に平行な平面の方程式は、ある定数 $d$ を用いて、$3x - 4y + z = d$ と表せる。

この平面が点 $(0, 1, 3)$ を通るので、$x = 0, y = 1, z = 3$ を代入すると、

$3(0) - 4(1) + 3 = d$

$-4 + 3 = d$

$d = -1$

したがって、求める平面の方程式は、$3x - 4y + z = -1$ となる。

よって、$3x - 4y + z + 1 = 0$ である。

(2) 3点 $A(1, -1, 2), B(-2, 1, 3), C(3, 1, 8)$ を通る平面の方程式を求める。

ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を計算する。

$\vec{AB} = (-2 - 1, 1 - (-1), 3 - 2) = (-3, 2, 1)$

$\vec{AC} = (3 - 1, 1 - (-1), 8 - 2) = (2, 2, 6)$

法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積で求められる。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (2 \times 6 - 1 \times 2, 1 \times 2 - (-3) \times 6, -3 \times 2 - 2 \times 2) = (12 - 2, 2 + 18, -6 - 4) = (10, 20, -10)$

法線ベクトルは $(10, 20, -10)$ の定数倍でもよいので、$(1, 2, -1)$ とする。

よって、求める平面の方程式は $x + 2y - z = d$ と表せる。

この平面が点 $(1, -1, 2)$ を通るので、$x = 1, y = -1, z = 2$ を代入すると、

$1 + 2(-1) - 2 = d$

$1 - 2 - 2 = d$

$d = -3$

したがって、求める平面の方程式は $x + 2y - z = -3$ となる。

よって、$x + 2y - z + 3 = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $3x - 4y + z + 1 = 0$

(2) $x + 2y - z + 3 = 0$