座標平面上の原点をOとする。線分$y = \sqrt{3}x$ $(0 \leq x \leq 2)$上の点Pと、線分$y = -\sqrt{3}x$ $(-3 \leq x \leq 0)$上の点Qがあり、線分OPと線分OQの長さの和が6となるように動く。このとき、線分PQの通過する領域をDとする。 (1) $-3 \leq s \leq 2$を満たす実数sに対して、点$(s, t)$がDに入るようなtの範囲を求めよ。 (2) Dを図示せよ。

1. 問題の内容

座標平面上の原点をOとする。線分$y = \sqrt{3}x$ $(0 \leq x \leq 2)$上の点Pと、線分$y = -\sqrt{3}x$ $(-3 \leq x \leq 0)$上の点Qがあり、線分OPと線分OQの長さの和が6となるように動く。このとき、線分PQの通過する領域をDとする。

(1) $-3 \leq s \leq 2$を満たす実数sに対して、点$(s, t)$がDに入るようなtの範囲を求めよ。

(2) Dを図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を$(p, \sqrt{3}p)$ ($0 \leq p \leq 2$)、点Qの座標を$(q, -\sqrt{3}q)$ $(-3 \leq q \leq 0$)とする。

OPとOQの長さの和が6であるから、$\sqrt{p^2 + 3p^2} + \sqrt{q^2 + 3q^2} = 6$より、

$2p + (-2q) = 6$、すなわち、$p - q = 3$。

$p = q + 3$なので、$-3 \leq q \leq 0$より$0 \leq p \leq 2$を満たす。

線分PQ上の点を$(s, t)$とすると、実数$k$ ($0 \leq k \leq 1$)を用いて、

$s = (1-k)p + kq = (1-k)(q+3) + kq = q + 3 - 3k$

$t = (1-k)\sqrt{3}p + k(-\sqrt{3}q) = (1-k)\sqrt{3}(q+3) - k\sqrt{3}q = \sqrt{3}q + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}kq$

$s = q + 3 - 3k$より、$3k = q + 3 - s$

これを$t = \sqrt{3}q + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}k$に代入して、

$t = \sqrt{3}q + 3\sqrt{3} - \sqrt{3}(q+3-s) = \sqrt{3}s$

ここで、$q = s - 3 + 3k$なので、$-3 \leq s - 3 + 3k \leq 0$より、$0 \leq 3k \leq 6-s$

$0 \leq k \leq 1$より、$0 \leq q + 3 - s \leq 3$, よって、$s-3 \leq q \leq s$

したがって、$\max(-3, s-3) \leq q \leq \min(0, s)$。

$t = \sqrt{3}(s-q)$より、$s-q = \frac{t}{\sqrt{3}}$.

したがって、$s-\min(0, s) \leq \frac{t}{\sqrt{3}} \leq s-\max(-3, s-3)$.

$s-\min(0, s) = \max(s, 0)$, $s-\max(-3, s-3) = \min(s+3, 3)$

$\sqrt{3} \max(s, 0) \leq t \leq \sqrt{3} \min(s+3, 3)$

(2) Dの図示

(1)の結果より、

$-3 \leq s \leq 0$のとき、$\sqrt{3}\times 0 \leq t \leq \sqrt{3}(s+3)$なので、$0 \leq t \leq \sqrt{3}(s+3)$

$0 \leq s \leq 2$のとき、$\sqrt{3}s \leq t \leq 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} \max(s, 0) \leq t \leq \sqrt{3} \min(s+3, 3)$

(2) 領域Dは、

$-3 \leq s \leq 0$において、$0 \leq t \leq \sqrt{3}(s+3)$

$0 \leq s \leq 2$において、$\sqrt{3}s \leq t \leq 3\sqrt{3}$

で表される領域。

Dは、3点$(0,0), (2, 2\sqrt{3}), (-3, 0)$を結ぶ線と、

線分$y = 3\sqrt{3}$ ($0 \leq x \leq 2$)で囲まれた領域。