直角を挟む2辺が4mと8mの直角三角形の土地があり、その中に長方形の花壇を作る。花壇は校舎から出ないようにし、花壇の面積を最大にする時の花壇の面積を求める。$AC = 4$、$BC = 8$、$BD = 2$、$PQ = x$として、以下の問いに答える。 (1) $x$のとり得る範囲 (2) $x = 2$のとき、$T$の値 (3) $PR$を$x$で表す (4) $T$を$x$の式で表す (5) $T$が最大となる$x$の値と、その時の$T$の値を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺が4mと8mの直角三角形の土地があり、その中に長方形の花壇を作る。花壇は校舎から出ないようにし、花壇の面積を最大にする時の花壇の面積を求める。$AC = 4$、$BC = 8$、$BD = 2$、$PQ = x$として、以下の問いに答える。

(1) $x$のとり得る範囲

(2) $x = 2$のとき、$T$の値

(3) $PR$を$x$で表す

(4) $T$を$x$の式で表す

(5) $T$が最大となる$x$の値と、その時の$T$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x$のとり得る範囲について

三角形$ABC$と三角形$PBR$は相似である。$AC = 4$、$BC = 8$より、$AB = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$である。

$PB : AB = BR : BC$なので、$BR = \frac{PB \times BC}{AB} = \frac{PB \times 8}{4\sqrt{5}} = \frac{2PB}{\sqrt{5}}$

$AR = AC - CR = AC - PQ = 4 - x$

$AP = AB - PB = 4\sqrt{5} - PB$

三角形$APQ$と三角形$ABC$は相似なので、$AP : AB = PQ : BC$、$AP = \frac{AB \times PQ}{BC} = \frac{4\sqrt{5}x}{8} = \frac{\sqrt{5}x}{2}$

$4\sqrt{5} - PB = \frac{\sqrt{5}x}{2}$より、$PB = 4\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}x}{2}$

$BR = \frac{2}{\sqrt{5}}(4\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}x}{2}) = 8 - x$

$BD = 2$なので、$BR \le BD + DR$、$8 - x \le 2 + DR$、$DR \ge 6 - x$

$CR \le CD$より、$PQ \le CD$、$x \le CD$、$BC = 8$、$BD = 2$なので、$CD = 6$

$x \le 6$であり、$x>0$なので、$0 < x \le 4$である。

(2) $x = 2$のとき、$T$の値について

$x = 2$のとき、$CR = PQ = 2$、$AQ = AC - QC = AC - PR$。

三角形$PBR$と三角形$ABC$は相似なので、$PR = \frac{AP \times AC}{AB}$。

$T = PQ \times CR = x \times QC = 2 \times QC$。

$PB = 4\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}(2)}{2} = 4\sqrt{5} - \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

$BR = 8 - 2 = 6$

三角形$PBR$において、$PR : AC = PB : AB$より、$PR : 4 = 3\sqrt{5} : 4\sqrt{5}$、$PR = 3$

$T = PQ \times CR = x \times PR = 2 \times 3 = 6$

(3) $PR$を$x$で表すについて

三角形$APQ$と三角形$ABC$は相似なので、$AP : AB = PQ : BC$

$AP = AB \times PQ / BC = 4\sqrt{5}x / 8 = x\sqrt{5} / 2$

$AQ : AC = AP : AB$より、$AQ = (AP \times AC) / AB = (x\sqrt{5}/2 \times 4) / 4\sqrt{5} = x/2$

$QC = AC - AQ = 4 - x/2$

$PR = QC = 4 - \frac{x}{2}$

(4) $T$を$x$の式で表すについて

$T = PQ \times PR = x \times (4 - x/2) = 4x - x^2/2 = -\frac{1}{2}x^2 + 4x$

(5) $T$が最大となる$x$の値と、その時の$T$の値を求めるについて

$T = -\frac{1}{2}x^2 + 4x = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16 - 16) = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8$

よって、$x = 4$のとき、$T$は最大値8をとる。

3. 最終的な答え

(1) $0 < x \le 4$

(2) $T = 6$

(3) $PR = 4 - \frac{x}{2}$

(4) $T = -\frac{1}{2}x^2 + 4x$

(5) $x = 4$のとき、$T = 8$