(1) x軸上の点 $(\frac{6-4\sqrt{3}}{3}, 0)$ から円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ への接線の方程式と接点の座標を求める。 (2) 2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $(x-2)^2 + y^2 = 4$ に共通に接する接線の方程式、線分ABの長さ、および円弧APCと円弧BQDおよび線分ABと線分CDとで囲まれた部分の面積を求める。

## 解答

1. 問題の内容

(1) x軸上の点 $(\frac{6-4\sqrt{3}}{3}, 0)$ から円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ への接線の方程式と接点の座標を求める。

(2) 2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $(x-2)^2 + y^2 = 4$ に共通に接する接線の方程式、線分ABの長さ、および円弧APCと円弧BQDおよび線分ABと線分CDとで囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点$(\frac{6-4\sqrt{3}}{3}, 0)$ を通る接線の方程式を $y = m(x-\frac{6-4\sqrt{3}}{3})$ とおく。

円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ の中心 (2,0) と直線 $y = m(x-\frac{6-4\sqrt{3}}{3})$ の距離が円の半径2に等しいことを利用する。

直線の方程式を変形すると $mx - y - m\frac{6-4\sqrt{3}}{3} = 0$ となる。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|2m - 0 - m\frac{6-4\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$

$|2m - m\frac{6-4\sqrt{3}}{3}| = 2\sqrt{m^2 + 1}$

$|m\frac{6-6+4\sqrt{3}}{3}| = 2\sqrt{m^2 + 1}$

$|m\frac{4\sqrt{3}}{3}| = 2\sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して

$\frac{16 \cdot 3}{9}m^2 = 4(m^2 + 1)$

$\frac{16}{3}m^2 = 4m^2 + 4$

$\frac{16}{3}m^2 - 4m^2 = 4$

$\frac{4}{3}m^2 = 4$

$m^2 = 3$

$m = \pm\sqrt{3}$

よって、接線の方程式は $y = \pm\sqrt{3}(x - \frac{6-4\sqrt{3}}{3})$ である。

$y = \pm\sqrt{3}(x - 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3})$

接点の座標を求める。$y = \sqrt{3}(x - 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3})$ を円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ に代入する。

$(x-2)^2 + 3(x - 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3})^2 = 4$

$(x-2)^2 + 3(x-2)^2 + 8\sqrt{3}(x-2) + 16 = 4$

$4(x-2)^2 + 8\sqrt{3}(x-2) + 12 = 0$

$(x-2)^2 + 2\sqrt{3}(x-2) + 3 = 0$

$(x-2 + \sqrt{3})^2 = 0$

$x = 2 - \sqrt{3}$

$y = \sqrt{3}(2-\sqrt{3} - 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 1$

接点の一つは $(2-\sqrt{3}, 1)$

もう一つの接線は、$y = -\sqrt{3}(x - 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3})$ で同様に計算すると接点は $(2-\sqrt{3}, -1)$

(2)

2つの円に共通に接する接線の方程式は $y = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}x + b$ とおく。

円 $x^2 + y^2 = 1$ との接点は $|b|/\sqrt{1/3+1} = 1$ なので $b^2/(4/3) = 1$ よって $b^2 = 4/3$ $b = \pm 2/\sqrt{3}$.

円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ との接点は $|2/(\sqrt{3}) +b|/\sqrt{1/3+1} = 2$ なので $|2/\sqrt{3} + b|^2/(4/3) = 4$ よって $(2/\sqrt{3} + b)^2 = 16/3$, $2/\sqrt{3} + b = \pm 4/\sqrt{3}$. $b = 2/\sqrt{3}$ または $b = -6/\sqrt{3}$.

円の中心間の距離は2であり、半径の差は1である。したがって接線の方程式は $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)$

線分ABの長さは、円の中心間の距離の2倍なので $\sqrt{3}$ である。

円弧APCと円弧BQDおよび線分ABと線分CDとで囲まれた部分の面積は $\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1)

接線の方程式は $y = \pm\sqrt{3}(x - 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3})$

接点の座標は $(2-\sqrt{3}, \pm1)$

(2)

共通接線の方程式は $y = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)$

線分ABの長さは $\sqrt{3}$

面積は $\sqrt{3} + \frac{\pi}{3}$