$\theta$ は鋭角であり、$\cos \theta = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角であり、$\cos \theta = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を利用して $\sin \theta$ を求める。

$\cos \theta = \frac{4}{5}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{16}{25} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{16}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{9}{25}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{25}}$

$\sin \theta = \pm \frac{3}{5}$

$\theta$ は鋭角なので、$\sin \theta > 0$ である。

したがって、$\sin \theta = \frac{3}{5}$。

次に、$\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\tan \theta = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$

$\tan \theta = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4}$

$\tan \theta = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{3}{5}$, $\tan \theta = \frac{3}{4}$ なので、答えは 1 です。