点A(1, 2, 3), 点B(3, 4, 1), 点C(0, 3, 8) とすると、ベクトル$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は、平面上のベクトルとなる。 $\overrightarrow{AB} = (3-1, 4-2, 1-3) = (2, 2, -2)$ $\overrightarrow{AC} = (0-1, 3-2, 8-3) = (-1, 1, 5)$

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1. 問題の内容

3点 (1, 2, 3), (3, 4, 1), (0, 3, 8) を通る平面の方程式を求める。

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2. 解き方の手順

1. 3点を通る平面上の2つのベクトルを求める。

点A(1, 2, 3), 点B(3, 4, 1), 点C(0, 3, 8) とすると、ベクトル$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は、平面上のベクトルとなる。

$\overrightarrow{AB} = (3-1, 4-2, 1-3) = (2, 2, -2)$

$\overrightarrow{AC} = (0-1, 3-2, 8-3) = (-1, 1, 5)$

2. 法線ベクトルを求める。

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は、平面上の2つのベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積として計算できる。

$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (2, 2, -2) \times (-1, 1, 5) = (2*5 - (-2)*1, (-2)*(-1) - 2*5, 2*1 - 2*(-1)) = (10+2, 2-10, 2+2) = (12, -8, 4)$

法線ベクトルは定数倍しても同じ平面を表すので、$\vec{n} = (12, -8, 4)$ を 4 で割って、$\vec{n} = (3, -2, 1)$ としても良い。

3. 平面の方程式を求める。

平面の方程式は、$ax + by + cz = d$ の形で表され、$(a, b, c)$ は法線ベクトル $\vec{n}$ である。

今回は法線ベクトルとして $\vec{n} = (3, -2, 1)$ を使う。

よって、$3x - 2y + z = d$

この平面は点 (1, 2, 3) を通るので、代入して $d$ を求める。

$3(1) - 2(2) + (3) = d$

$3 - 4 + 3 = d$

$d = 2$

したがって、平面の方程式は $3x - 2y + z = 2$ となる。

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3. 最終的な答え

$3x - 2y + z = 2$