3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

3点を通る平面の方程式を求めるには、まず平面上の2つのベクトルを求め、それらの外積を計算して法線ベクトルを求める。次に、平面上の任意の点と法線ベクトルを使って平面の方程式を立てる。

ステップ1：平面上の2つのベクトルを求める。

点 $A(1, 2, 3)$, $B(3, 4, 1)$, $C(0, 3, 8)$ とする。

ベクトル $\vec{AB}$ および $\vec{AC}$ を計算する。

$\vec{AB} = (3-1, 4-2, 1-3) = (2, 2, -2)$

$\vec{AC} = (0-1, 3-2, 8-3) = (-1, 1, 5)$

ステップ2：法線ベクトルを求める。

法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積で与えられる。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(5) - (-2)(1) \\ (-2)(-1) - (2)(5) \\ (2)(1) - (2)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 + 2 \\ 2 - 10 \\ 2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix}$

法線ベクトルは $\vec{n} = (12, -8, 4)$ である。これは $(3, -2, 1)$ と平行なので、$\vec{n} = (3, -2, 1)$ を使うこともできる。

ステップ3：平面の方程式を立てる。

平面の方程式は $ax + by + cz = d$ の形で表され、$(a, b, c)$ は法線ベクトルである。

点 $A(1, 2, 3)$ を通る平面の方程式は、

$3(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0$

$3x - 3 - 2y + 4 + z - 3 = 0$

$3x - 2y + z - 2 = 0$

$3x - 2y + z = 2$

3. 最終的な答え

平面の方程式は $3x - 2y + z = 2$ である。