$\alpha$ は第1象限の角、$\beta$ は第4象限の角であるとする。$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos \beta = \frac{4}{5}$ のとき、$\cos(\alpha - \beta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha$ は第1象限の角、$\beta$ は第4象限の角であるとする。$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos \beta = \frac{4}{5}$ のとき、$\cos(\alpha - \beta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\cos(\alpha - \beta)$ の加法定理は以下の通りです。

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$ が与えられているので、$\cos \alpha$ を求めます。

$\alpha$ は第1象限の角なので、$\cos \alpha > 0$ です。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

よって、$\cos \alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \beta = \frac{4}{5}$ が与えられているので、$\sin \beta$ を求めます。

$\beta$ は第4象限の角なので、$\sin \beta < 0$ です。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

よって、$\sin \beta = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ にそれぞれの値を代入します。

$\cos(\alpha - \beta) = (\frac{2\sqrt{5}}{5})(\frac{4}{5}) + (\frac{\sqrt{5}}{5})(-\frac{3}{5}) = \frac{8\sqrt{5}}{25} - \frac{3\sqrt{5}}{25} = \frac{5\sqrt{5}}{25} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}}{5}$