2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が垂直であるように、定数 $k$ の値を求める問題です。 直線 $l_1$ は $\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{6} = \frac{z+1}{3}$ で表され、直線 $l_2$ は $x = 1-3t$, $y = 5+kt$, $z = -3+2t$ で表されます。

1. 問題の内容

2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が垂直であるように、定数 $k$ の値を求める問題です。

直線 $l_1$ は $\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{6} = \frac{z+1}{3}$ で表され、直線 $l_2$ は $x = 1-3t$, $y = 5+kt$, $z = -3+2t$ で表されます。

2. 解き方の手順

直線 $l_1$ の方向ベクトルを $\vec{v_1}$、直線 $l_2$ の方向ベクトルを $\vec{v_2}$ とします。

直線 $l_1$ の方程式から、$\vec{v_1} = (4, 6, 3)$ がわかります。

直線 $l_2$ の方程式から、$\vec{v_2} = (-3, k, 2)$ がわかります。

2つの直線が垂直であるとき、それぞれの方向ベクトルの内積は0になります。つまり、$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ です。

内積を計算すると、

$4 \cdot (-3) + 6 \cdot k + 3 \cdot 2 = 0$

$-12 + 6k + 6 = 0$

$6k - 6 = 0$

$6k = 6$

$k = 1$

3. 最終的な答え

$k = 1$