問題は3つの小問題から構成されています。 (1) 点$(1, 6, -1)$を通り、ベクトル $\vec{n} = (2, -1, 4)$ に垂直な平面の方程式を求める。 (2) 点$(-4, 3, 1)$を通り、平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式を求める。 (3) 3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題は3つの小問題から構成されています。

(1) 点$(1, 6, -1)$を通り、ベクトル $\vec{n} = (2, -1, 4)$ に垂直な平面の方程式を求める。

(2) 点$(-4, 3, 1)$を通り、平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式を求める。

(3) 3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平面上の任意の点を $(x, y, z)$ とすると、平面の方程式は $\vec{n} \cdot ((x, y, z) - (1, 6, -1)) = 0$ と表せる。つまり、

$2(x - 1) - (y - 6) + 4(z + 1) = 0$

$2x - 2 - y + 6 + 4z + 4 = 0$

$2x - y + 4z + 8 = 0$

(2) 与えられた平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式は $x + 5y - 2z = d$ と表せる。この平面が点 $(-4, 3, 1)$ を通るので、

$-4 + 5(3) - 2(1) = d$

$-4 + 15 - 2 = d$

$d = 9$

したがって、平面の方程式は $x + 5y - 2z = 9$

(3) 3点 $A(1, 2, 3)$, $B(3, 4, 1)$, $C(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求める。

$\vec{AB} = (3 - 1, 4 - 2, 1 - 3) = (2, 2, -2)$

$\vec{AC} = (0 - 1, 3 - 2, 8 - 3) = (-1, 1, 5)$

法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積で求められる。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (2, 2, -2) \times (-1, 1, 5) = (2(5) - (-2)(1), (-2)(-1) - 2(5), 2(1) - 2(-1)) = (10 + 2, 2 - 10, 2 + 2) = (12, -8, 4)$

平面上の任意の点を $(x, y, z)$ とすると、平面の方程式は $\vec{n} \cdot ((x, y, z) - (1, 2, 3)) = 0$ と表せる。つまり、

$12(x - 1) - 8(y - 2) + 4(z - 3) = 0$

$12x - 12 - 8y + 16 + 4z - 12 = 0$

$12x - 8y + 4z - 8 = 0$

$3x - 2y + z - 2 = 0$

$3x - 2y + z = 2$

3. 最終的な答え

(1) $2x - y + 4z = -8$

(2) $x + 5y - 2z = 9$

(3) $3x - 2y + z = 2$