$\triangle ABC$ は $AB = AC$ の二等辺三角形である。辺 $AB$ 上に点 $D$, 辺 $AC$ 上に点 $E$ を $BD = CE$ となるようにとる。$BE$ と $CD$ の交点を $F$ とする。 (1) $BE = CD$ であることを証明せよ。 (2) $\triangle FBC$ は二等辺三角形であることを証明せよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ は $AB = AC$ の二等辺三角形である。辺 $AB$ 上に点 $D$, 辺 $AC$ 上に点 $E$ を $BD = CE$ となるようにとる。$BE$ と $CD$ の交点を $F$ とする。

(1) $BE = CD$ であることを証明せよ。

(2) $\triangle FBC$ は二等辺三角形であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $BE = CD$ であることの証明

$\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ において、

仮定より $AB = AC$

仮定より $BD = CE$

$\triangle ABC$ は二等辺三角形なので $\angle ABD = \angle ACE$

2辺とその間の角がそれぞれ等しいので

$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$

合同な図形の対応する辺は等しいので

$AD = AE$

また $AB = AC$ なので $AB - AD = AC - AE$

よって $BD = CE$

$\triangle BCE$ と $\triangle CBD$ において、

$BC$ は共通

仮定より $BD = CE$

$\triangle ABC$ は二等辺三角形なので $\angle EBC = \angle DCB$

2辺とその間の角がそれぞれ等しいので

$\triangle BCE \equiv \triangle CBD$

合同な図形の対応する辺は等しいので

$BE = CD$

(2) $\triangle FBC$ が二等辺三角形であることの証明

(1) より $\triangle BCE \equiv \triangle CBD$ なので

$\angle BEC = \angle CDB$

また合同な図形の対応する角は等しいので

$\angle BCE = \angle CBD$

よって $\angle FBC = \angle FCB$

2角が等しいので $\triangle FBC$ は二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACE$ より $BE = CD$

(2) $\angle FBC = \angle FCB$ なので $\triangle FBC$ は二等辺三角形である。