平行四辺形ABCDにおいて、∠BAE = 47°、∠BCE = 65°である。∠xの大きさを求めよ。

幾何学平行四辺形角度内角の和錯角
2025/8/4
## 問題 (4) の解答

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、∠BAE = 47°、∠BCE = 65°である。∠xの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平行四辺形の性質を思い出す。
* 向かい合う角は等しい。
* 隣り合う角の和は180°である。
平行四辺形ABCDにおいて、∠ABC = ∠ADCである。
また、∠BAD = ∠BCDである。
∠ABC + ∠BCD = 180°である。
∠BCD = ∠BCE + ∠ECD = 65° + ∠ECDである。
また、∠BAD = ∠BAE + ∠EAD = 47° + ∠EADである。
∠BAD = ∠BCDなので、47° + ∠EAD = 65° + ∠ECDである。
∠ABC + ∠BAD = 180°なので、∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - (47° + ∠EAD)。
四角形ABCEの内角の和は360°であるから、
∠BAE + ∠ABC + ∠BCE + ∠AEC = 360°
47° + (180° - 47° - ∠EAD) + 65° + ∠AEC = 360°
180° + 65° - ∠EAD + ∠AEC = 360°
∠AEC - ∠EAD = 360° - 180° - 65°
∠AEC - ∠EAD = 115°
ここで、∠AEC = xである。
∠EADを求める。
AD // BCより、∠EAD + ∠AEB = 180° (同側内角)
∠AEB = 180° - ∠AEC = 180° - x
∠EAD = 180° - ∠AEB = 180° - (180° - x) = x
よって、xx=115x - x = 115は正しくない。
別の方法で解く。
AD//BCなので、∠DAE = ∠BEC (錯角)
∠BEC = x
平行四辺形の性質より、∠ABC + ∠BCD = 180°
∠ABC = 180° - ∠BCD = 180° - 65° = 115°
三角形ABEにおいて、内角の和は180°なので、
∠BAE + ∠ABE + ∠AEB = 180°
47° + ∠ABE + ∠AEB = 180°
∠AEB = 180° - 47° - ∠ABE
∠ABE = ∠ABC = 115° - x
∠AEB = 180° - 47° - 115° - x = 180° - 162° + x = 18° + x
∠AEB + ∠BEC = 180° - x + x = 180°
AEB+x=180°∠AEB + x = 180°
18°+x+x=180°18° + x + x = 180°
2x=162°2x = 162°
x=81°x = 81°

3. 最終的な答え

81°

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