3点A(0, -1), B(4, 1), C(6, -3)を通る円の方程式を求め、その中心の座標と半径を求める。さらに、線分BCを直径とする円の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点A(0, -1), B(4, 1), C(6, -3)を通る円の方程式を求め、その中心の座標と半径を求める。さらに、線分BCを直径とする円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3点A, B, Cを通る円の方程式を$x^2 + y^2 - ax - by + c = 0$とおく。

(2) A(0, -1)を通るので、

$0^2 + (-1)^2 - a(0) - b(-1) + c = 0$

$1 + b + c = 0$

$b + c = -1$ ... (1)

(3) B(4, 1)を通るので、

$4^2 + 1^2 - a(4) - b(1) + c = 0$

$16 + 1 - 4a - b + c = 0$

$-4a - b + c = -17$ ... (2)

(4) C(6, -3)を通るので、

$6^2 + (-3)^2 - a(6) - b(-3) + c = 0$

$36 + 9 - 6a + 3b + c = 0$

$-6a + 3b + c = -45$ ... (3)

(5) (2) - (1)より、

$-4a - 2b = -16$

$2a + b = 8$ ... (4)

(6) (3) - (1)より、

$-6a + 2b = -44$

$3a - b = 22$ ... (5)

(7) (4) + (5)より、

$5a = 30$

$a = 6$

(8) (4)に代入して、$2(6) + b = 8$

$12 + b = 8$

$b = -4$

(9) (1)に代入して、$(-4) + c = -1$

$c = 3$

(10) よって、円の方程式は、$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 3 = 0$

(11) 円の中心の座標を求める。

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + 3 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 10$

中心(3, -2)、半径$\sqrt{10}$

(12) 線分BCの中点の座標は、$(\frac{4+6}{2}, \frac{1+(-3)}{2}) = (5, -1)$

(13) 線分BCの長さは、$\sqrt{(6-4)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(14) BCを直径とする円の半径は$\sqrt{5}$

(15) BCを直径とする円の方程式は、$(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 5$

3. 最終的な答え

ア: 6

イ: 4

ウ: 3

エ: 3

オ: 2

カキ: 10

ク: 5

ケ: 1

コ: 5