円 $x^2 + y^2 = 4$ と点 $P(0, -1)$ が与えられている。 (1) 円上の点 $A$ に対して、点 $P$ が線分 $QA$ を $1:2$ に内分するような点 $Q$ が、ある円周上を動くことを示し、その円の中心と半径を求める。 (2) 円 $O$ に内接する $\triangle ABC$ の重心が点 $P$ であるとする。点 $A$ の座標が $(2, 0)$ であるとき、直線 $BC$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と点 $P(0, -1)$ が与えられている。

(1) 円上の点 $A$ に対して、点 $P$ が線分 $QA$ を $1:2$ に内分するような点 $Q$ が、ある円周上を動くことを示し、その円の中心と半径を求める。

(2) 円 $O$ に内接する $\triangle ABC$ の重心が点 $P$ であるとする。点 $A$ の座標が $(2, 0)$ であるとき、直線 $BC$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A$ の座標を $(x, y)$、点 $Q$ の座標を $(X, Y)$ とする。$A$ は円 $O$ 上の点なので、$x^2 + y^2 = 4$ を満たす。

点 $P(0, -1)$ が線分 $QA$ を $1:2$ に内分するので、内分点の公式から

$0 = \frac{2X + x}{3}$、$-1 = \frac{2Y + y}{3}$

これより $x = -2X$, $y = -3 - 2Y$

$x^2 + y^2 = 4$ に代入すると $(-2X)^2 + (-3 - 2Y)^2 = 4$

$4X^2 + (2Y + 3)^2 = 4$

$4X^2 + 4Y^2 + 12Y + 9 = 4$

$4X^2 + 4Y^2 + 12Y + 5 = 0$

$X^2 + Y^2 + 3Y + \frac{5}{4} = 0$

$X^2 + (Y + \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

したがって、点 $Q(X, Y)$ は、中心 $(0, -\frac{3}{2})$、半径 $1$ の円周上を動く。

(2) $\triangle ABC$ の重心を $P(0, -1)$ とする。点 $A(2, 0)$ とする。点 $B, C$ の座標をそれぞれ $(x_B, y_B)$, $(x_C, y_C)$ とする。

重心の公式から

$\frac{2 + x_B + x_C}{3} = 0$, $\frac{0 + y_B + y_C}{3} = -1$

$x_B + x_C = -2$, $y_B + y_C = -3$

$BC$ の中点を $M$ とすると、$M$ の座標は $(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}) = (-1, -\frac{3}{2})$

直線 $AM$ は、重心 $P$ を通るので、$A, P, M$ は一直線上にある。

直線 $AM$ の傾きは $\frac{-\frac{3}{2} - 0}{-1 - 2} = \frac{-\frac{3}{2}}{-3} = \frac{1}{2}$

$BC \perp AM$ なので、直線 $BC$ の傾きは $-2$

したがって、直線 $BC$ の方程式は

$y + \frac{3}{2} = -2(x + 1)$

$y = -2x - 2 - \frac{3}{2}$

$y = -2x - \frac{7}{2}$

$2y = -4x - 7$

$4x + 2y + 7 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(0, -\frac{3}{2})$、半径 $1$

(2) $4x + 2y + 7 = 0$