直線 $l: y = -x + 9$, 直線 $m: y = \frac{1}{2}x - 3$, 直線 $n: x = 2$ が与えられている。点Pは直線 $l$ と $m$ の交点、点Aは直線 $l$ と $n$ の交点、点Bは直線 $m$ と $n$ の交点である。 (1) 線分ABの長さを求める。 (2) 点Pの座標を求める。 (3) 点Pを通り三角形PABの面積を2等分する直線の式を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y = -x + 9$, 直線 $m: y = \frac{1}{2}x - 3$, 直線 $n: x = 2$ が与えられている。点Pは直線 $l$ と $m$ の交点、点Aは直線 $l$ と $n$ の交点、点Bは直線 $m$ と $n$ の交点である。

(1) 線分ABの長さを求める。

(2) 点Pの座標を求める。

(3) 点Pを通り三角形PABの面積を2等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を求める。点Aは直線 $l$ と $n$ の交点なので、$x=2$ を $y = -x + 9$ に代入すると、

$y = -2 + 9 = 7$

よって、点Aの座標は $(2, 7)$。

点Bの座標を求める。点Bは直線 $m$ と $n$ の交点なので、$x=2$ を $y = \frac{1}{2}x - 3$ に代入すると、

$y = \frac{1}{2}(2) - 3 = 1 - 3 = -2$

よって、点Bの座標は $(2, -2)$。

線分ABの長さは、点Aと点Bのy座標の差の絶対値であるから、

$AB = |7 - (-2)| = |7 + 2| = 9$

(2) 点Pの座標を求める。点Pは直線 $l: y = -x + 9$ と直線 $m: y = \frac{1}{2}x - 3$ の交点なので、連立方程式を解く。

$y = -x + 9$

$y = \frac{1}{2}x - 3$

$-x + 9 = \frac{1}{2}x - 3$

$12 = \frac{3}{2}x$

$x = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$

$y = -8 + 9 = 1$

よって、点Pの座標は $(8, 1)$。

(3) 点Pを通り三角形PABの面積を2等分する直線を求める。

三角形PABの面積を2等分する直線は、線分ABの中点を通る。

線分ABの中点Mの座標は、

$M = \left( \frac{2+2}{2}, \frac{7+(-2)}{2} \right) = \left( 2, \frac{5}{2} \right)$

点P$(8, 1)$と点M$(2, \frac{5}{2})$を通る直線の傾きは、

$\frac{\frac{5}{2} - 1}{2 - 8} = \frac{\frac{3}{2}}{-6} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$

よって、求める直線の式は、$y = -\frac{1}{4}x + b$ と表せる。点P$(8, 1)$を通るので、

$1 = -\frac{1}{4}(8) + b$

$1 = -2 + b$

$b = 3$

よって、求める直線の式は $y = -\frac{1}{4}x + 3$。

3. 最終的な答え

(1) 線分ABの長さは $9$。

(2) 点Pの座標は $(8, 1)$。

(3) 点Pを通り三角形 PABの面積を2等分する直線の式は $y = -\frac{1}{4}x + 3$。