長方形ABCDの辺BCはx軸上にあり、点Aは直線 $y = 2x$ 上に、点Dは直線 $y = -\frac{2}{3}x + 8$ 上にある。この長方形が正方形となるとき、点Bの座標を求める問題。

1. 問題の内容

長方形ABCDの辺BCはx軸上にあり、点Aは直線 $y = 2x$ 上に、点Dは直線 $y = -\frac{2}{3}x + 8$ 上にある。この長方形が正方形となるとき、点Bの座標を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、正方形の一辺の長さを $a$ とおく。点Aは直線 $y = 2x$ 上にあるので、点Aの座標は $(x, 2x)$ と表せる。

点Bはx軸上にあるので、点Bの座標は $(x, 0)$ と表せる。

正方形の一辺の長さは $a$ なので、点Aのy座標は $a$ となる。

したがって、$2x = a$ であるから、$x = \frac{a}{2}$ となる。

点Aの座標は $(\frac{a}{2}, a)$ となる。

点Dの座標は点Aの座標からx方向に $a$ だけ移動した点なので、点Dの座標は $(\frac{a}{2} + a, a) = (\frac{3a}{2}, a)$ となる。

点Dは直線 $y = -\frac{2}{3}x + 8$ 上にあるので、$x = \frac{3a}{2}$, $y = a$ を代入すると、

$a = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3a}{2} + 8$

$a = -a + 8$

$2a = 8$

$a = 4$

したがって、正方形の一辺の長さは4である。

点Bのx座標は点Aのx座標と同じなので、$x = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$

したがって、点Bの座標は $(2, 0)$ となる。

3. 最終的な答え

(2, 0)