鋭角三角形 OAB を含む平面上に点 P をとる。 (1) 点 P は等式 $4\overrightarrow{OP} + 3\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{0}$ を満たす。このとき、$\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{PB}$ を $\overrightarrow{OP}$ を用いて表し、与えられた等式を変形して $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。 また、辺 AB の中点を M1、線分 OM1 の中点を M2、線分 OM1 を 2:1, 1:2 に外分する点をそれぞれ M3, M4 とするとき、$\triangle OAB$ を含む平面上に点 P を図示する。

1. 問題の内容

鋭角三角形 OAB を含む平面上に点 P をとる。

(1) 点 P は等式 $4\overrightarrow{OP} + 3\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{0}$ を満たす。このとき、$\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{PB}$ を $\overrightarrow{OP}$ を用いて表し、与えられた等式を変形して $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。

また、辺 AB の中点を M1、線分 OM1 の中点を M2、線分 OM1 を 2:1, 1:2 に外分する点をそれぞれ M3, M4 とするとき、$\triangle OAB$ を含む平面上に点 P を図示する。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}$ である。

これらを $4\overrightarrow{OP} + 3\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{0}$ に代入する。

$4\overrightarrow{OP} + 3(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}) + 3(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}) = \overrightarrow{0}$

$4\overrightarrow{OP} + 3\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OP} + 3\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{0}$

$-2\overrightarrow{OP} + 3\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}$

$2\overrightarrow{OP} = 3\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{2}\overrightarrow{OB}$

したがって、

$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{2}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{2}\overrightarrow{OB} = 3 (\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}) = 3\overrightarrow{OM_1}$

点 $M_1$ は辺 AB の中点なので、$\overrightarrow{OM_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = 3\overrightarrow{OM_1}$ なので、点 P は直線 $OM_1$ 上にあり、$OM_1 : MP = 1:2$ である。したがって、点 P は線分 $OM_1$ を 2:1 に外分する点 $M_3$ と一致する。

3. 最終的な答え

ア: $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}$

イ: $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}$

ウ: 3

エ: 2

オ: 3

カ: 2

キ: 線分 $OM_1$ を 2:1 に外分する点 $M_3$ と一致する。