1辺の長さが36cmの正三角形の厚紙から、3つの合同な四角形を切り取り、ふたのない箱を作る。切り取る四角形の外側の辺の長さを $x$ cmとしたとき、箱が作れるための $x$ の範囲、箱の容積 $V$ を $x$ の式で表し、$V$ が最大となる $x$ の値とそのときの最大値を求める。

1. 問題の内容

1辺の長さが36cmの正三角形の厚紙から、3つの合同な四角形を切り取り、ふたのない箱を作る。切り取る四角形の外側の辺の長さを $x$ cmとしたとき、箱が作れるための $x$ の範囲、箱の容積 $V$ を $x$ の式で表し、$V$ が最大となる $x$ の値とそのときの最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の範囲を求める。正三角形の一辺の長さが36cmなので、$x$ は0より大きく、36の半分より小さい必要がある。なぜなら、$x$ が36/2=18を超えると、切り取る部分が重なってしまうからである。したがって、箱が作れるための $x$ の範囲は $0 < x < 18$ となる。これが「アイ」に当てはまる。

次に、容積 $V$ を $x$ の式で表す。底面の正三角形の一辺の長さは $36 - 2x$ cmであり、高さは $x$ cmである。正三角形の面積の公式は $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ (ただし $a$ は一辺の長さ)なので、底面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} (36 - 2x)^2$ となる。したがって、容積 $V$ は

$V = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} (36 - 2x)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} x (36 - 2x)^2 = \sqrt{3} x (18 - x)^2$

となる。問題文の形式に合わせると、$V = x (\sqrt{3} (18-x))^2$　となる。したがって「ウエ」は $18$ である。

$V$ を最大にする $x$ の値を求めるために、$V$ を微分する。

$V = \sqrt{3} x (18 - x)^2 = \sqrt{3} x (324 - 36x + x^2) = \sqrt{3} (324x - 36x^2 + x^3)$

$\frac{dV}{dx} = \sqrt{3} (324 - 72x + 3x^2) = 3\sqrt{3} (x^2 - 24x + 108) = 3\sqrt{3} (x-6)(x-18)$

$\frac{dV}{dx} = 0$ となるのは $x = 6$ または $x = 18$ のときである。$0 < x < 18$ なので、$x = 6$ が $V$ を最大にする $x$ の値である。

$x = 6$ のときの $V$ の値を計算する。

$V = \sqrt{3} \cdot 6 (18 - 6)^2 = \sqrt{3} \cdot 6 \cdot 12^2 = \sqrt{3} \cdot 6 \cdot 144 = 864\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

アイ: 18

ウエ: 18

オ: 6

カキク: $864\sqrt{3}$