与えられた等式 $\overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$ を変形し、点Pがどのような図形を描くかを求める問題です。具体的には、$\overrightarrow{AP}$ を用いて等式を変形し、円の方程式を導き出し、その中心と半径を求めることが目標です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$ を変形し、点Pがどのような図形を描くかを求める問題です。具体的には、$\overrightarrow{AP}$ を用いて等式を変形し、円の方程式を導き出し、その中心と半径を求めることが目標です。

2. 解き方の手順

与えられた等式 $\overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$ を変形します。

まず、$\overrightarrow{PA} = -\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}$ を代入します。すると、

$(-\overrightarrow{AP})^2 + (-\overrightarrow{AP}) \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) = 0$

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{AP}|^2 - \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB} + |\overrightarrow{AP}|^2 = 0$

$\Leftrightarrow 2|\overrightarrow{AP}|^2 - \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

従って、ク = 2、ケ = 1 となります。

次に、この式を変形して、$\overrightarrow{AP} - \alpha \overrightarrow{AB}$ の形にします。

$2|\overrightarrow{AP}|^2 - \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

$\Leftrightarrow 2 \left(\overrightarrow{AP} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{16}\overrightarrow{AB}^2\right) + \frac{1}{8} |\overrightarrow{AB}|^2 = 0$

$\Leftrightarrow \left|\overrightarrow{AP} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\right|^2 = \frac{1}{16}|\overrightarrow{AB}|^2$

$\Leftrightarrow \left|\overrightarrow{AP} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\right| = \frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|$

従って、コ = 1、サ = 4、シ = 1、ス = 4 となります。

したがって、$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB}$ とすると、点Pは点Qを中心とする半径 $\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|$ の円周上を動く点であることがわかります。

3. 最終的な答え

ク = 2

ケ = 1

コ = 1

サ = 4

シ = 1

ス = 4

セ = 点Qを中心とする半径 $\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|$ の円となる