四面体$ABCD$において、点$A$から平面$BCD$に下ろした垂線を$AO$とする。また、点$O$から直線$BC$に下ろした垂線を$OE$とする。このとき、以下のことを証明する。 (1) $BC$は平面$AEO$に垂直である。 (2) $AE \perp BC$

1. 問題の内容

四面体$ABCD$において、点$A$から平面$BCD$に下ろした垂線を$AO$とする。また、点$O$から直線$BC$に下ろした垂線を$OE$とする。このとき、以下のことを証明する。

(1) $BC$は平面$AEO$に垂直である。

(2) $AE \perp BC$

2. 解き方の手順

(1) $BC$が平面$AEO$に垂直であることを示す。

$AO$は平面$BCD$に垂直なので、$AO \perp BC$である。

$OE \perp BC$（仮定）

$AO$と$OE$は平面$AEO$上の交わる2直線であり、$BC$はこの両方に垂直である。

したがって、$BC$は平面$AEO$に垂直である。

(2) $AE \perp BC$を示す。

(1)より、$BC$は平面$AEO$に垂直である。

$AE$は平面$AEO$上の直線なので、$BC \perp AE$である。

したがって、$AE \perp BC$が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $BC$は平面$AEO$に垂直である。

(2) $AE \perp BC$