ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ について、 $|\vec{a}|=\sqrt{5}$、 $|\vec{b}|=\sqrt{3}$、 $|\vec{a}-\vec{b}|=3$ が成り立つ。$\vec{c}=\vec{a}+t\vec{b}$（$t$ は実数）とおく。このとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求め、$\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角が $90^\circ$ であるような $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ について、 $|\vec{a}|=\sqrt{5}$、 $|\vec{b}|=\sqrt{3}$、 $|\vec{a}-\vec{b}|=3$ が成り立つ。$\vec{c}=\vec{a}+t\vec{b}$（$t$ は実数）とおく。このとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求め、$\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角が $90^\circ$ であるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求める。

$|\vec{a}-\vec{b}|=3$ の両辺を2乗すると、

$$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 9$$

$$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 9$$

$$|\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9$$

$(\sqrt{5})^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + (\sqrt{3})^2 = 9$

$5 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3 = 9$

$8 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$

$-2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$$

次に、$\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角が $90^\circ$ であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ である。

$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ より、

$$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{a} + t\vec{b}) = 0$$

$$\vec{a} \cdot \vec{a} + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$$

$$|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$$

$(\sqrt{5})^2 + t(-\frac{1}{2}) = 0$

$5 - \frac{1}{2}t = 0$

$\frac{1}{2}t = 5$

$$t = 10$$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$

$t = 10$