$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$ が与えられている。 点Qは(i)で定まっている(原文に(i)の内容がないので、仮に $\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$であるとする)。このとき、$|\overrightarrow{OQ}|$ を求め、次に$|\overrightarrow{AB}|$を求め、それらを利用して$|\overrightarrow{OP}|$ の最大値を求める問題である。

1. 問題の内容

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$ が与えられている。

点Qは(i)で定まっている(原文に(i)の内容がないので、仮に $\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$であるとする)。このとき、$|\overrightarrow{OQ}|$ を求め、次に$|\overrightarrow{AB}|$を求め、それらを利用して$|\overrightarrow{OP}|$ の最大値を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1) $|\overrightarrow{OQ}|$ を求める。

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$ より、

$|\overrightarrow{OQ}|^2 = (\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB})\cdot(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB})$

$= \frac{1}{9}|\overrightarrow{OA}|^2 + \frac{4}{9}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} + \frac{4}{9}|\overrightarrow{OB}|^2$

$= \frac{1}{9}(3^2) + \frac{4}{9}(\frac{5}{2}) + \frac{4}{9}(2^2)$

$= \frac{9}{9} + \frac{10}{9} + \frac{16}{9} = \frac{35}{9}$

よって、

$|\overrightarrow{OQ}| = \sqrt{\frac{35}{9}} = \frac{\sqrt{35}}{3}$

(2) $|\overrightarrow{AB}|$ を求める。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$|\overrightarrow{AB}|^2 = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$

$= |\overrightarrow{OB}|^2 - 2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OA}|^2$

$= 2^2 - 2(\frac{5}{2}) + 3^2 = 4 - 5 + 9 = 8$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(3) $|\overrightarrow{OP}|$ の最大値を求める。

Pが線分AB上の点であるとき、$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$と表せる。

PがQを中心とする円周上の点であるとき$|\overrightarrow{QP}| = r$とおくと、$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QP}$。

このとき$|\overrightarrow{OP}|$の最大値は、直線OQ上にPがあるとき、$|\overrightarrow{OP}| = |\overrightarrow{OQ}| + |\overrightarrow{QP}|$となる。

$|\overrightarrow{OP}|$の最大値は $|\overrightarrow{OQ}|$ + 半径 。ここで半径が $|\overrightarrow{AB}|$とは限らないので、問題文に不備がある可能性がある。

しかし、とりあえず $|\overrightarrow{OP}| = \frac{\sqrt{35}}{3} + 2\sqrt{2}$としておく。

3. 最終的な答え

$|\overrightarrow{OQ}| = \frac{\sqrt{35}}{3}$

$|\overrightarrow{AB}| = 2\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{OP}|$ の最大値は $\frac{\sqrt{35}}{3} + 2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{35} + 6\sqrt{2}}{3}$

$|\overrightarrow{OQ}| = \frac{\sqrt{35}}{3}$より

ソ = 35

タ = 3

$|\overrightarrow{AB}| = 2\sqrt{2}$より

チ = 2

ツ = 2

$|\overrightarrow{OP}|$ の最大値は $\frac{\sqrt{35} + 6\sqrt{2}}{3}$より

テ = $\sqrt{35}$

ト = 72

ナ = 3