複素数平面上の3点 $A(\alpha)$、$B(\beta)$、$C(\gamma)$ について、$AB:AC = 3:\sqrt{3}$、$\angle BAC = \frac{\pi}{6}$ が成り立っているとき、$\left|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}\right|$ と $\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点 $A(\alpha)$、$B(\beta)$、$C(\gamma)$ について、$AB:AC = 3:\sqrt{3}$、$\angle BAC = \frac{\pi}{6}$ が成り立っているとき、$\left|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}\right|$ と $\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$AB:AC = 3:\sqrt{3}$ より、$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。これは、$\left|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}\right| = \frac{AC}{AB}$ を意味するので、

$\left|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ となる。

次に、$\angle BAC = \frac{\pi}{6}$ であるから、$\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \pm \frac{\pi}{6}$ となる。問題文には $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の虚部は正とあるので、$\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{\pi}{6}$ となる。

3. 最終的な答え

$\left|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}\right| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{\pi}{6}$