直角三角形の土地に、長方形ABCDを内接させる。長方形の面積を400 $m^2$ 以上にするための辺ABの長さの範囲を求める問題です。直角三角形の底辺は60m、高さは30mです。

1. 問題の内容

直角三角形の土地に、長方形ABCDを内接させる。長方形の面積を400 $m^2$ 以上にするための辺ABの長さの範囲を求める問題です。直角三角形の底辺は60m、高さは30mです。

2. 解き方の手順

まず、ABの長さを $x$ とおきます。すると、長方形の辺ADの長さを $x$ を用いて表す必要があります。

直角三角形ABCと直角三角形ABDは相似です。

したがって、$\frac{AD}{BC}=\frac{AB}{AC}$ となります。

ACの長さは $\sqrt{60^2+30^2} = \sqrt{3600+900}=\sqrt{4500} = 30\sqrt{5}$ となります。

AD = $y$ とおくと、

$\frac{y}{30}=\frac{x}{60}$とはならないので、相似な三角形を間違えています。

三角形ABCと三角形ADEが相似であることから考えます。

DE = $x$ とおくと、$AD=60-x$ となります。

$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$より

$\frac{60-x}{60}=\frac{y}{30}$

$y = \frac{30(60-x)}{60} = \frac{60-x}{2}$

長方形ABCDの面積は $x \times y$ なので、

$x \times \frac{60-x}{2} \geq 400$

$x(60-x) \geq 800$

$60x - x^2 \geq 800$

$x^2 - 60x + 800 \leq 0$

$(x-20)(x-40) \leq 0$

$20 \leq x \leq 40$

3. 最終的な答え

辺ABの長さの範囲は、20m以上40m以下です。

$20 \leq AB \leq 40$