$\theta$ は鋭角であり、$\tan \theta = \sqrt{2}$ であるとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角であり、$\tan \theta = \sqrt{2}$ であるとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係の公式を利用する。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

この公式に $\tan \theta = \sqrt{2}$ を代入する。

$1 + (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$3 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ であるから

$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の公式を利用する。

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$

$\sin \theta = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$