正四面体ABCDの各辺の中点をP, Q, R, S, T, Uとする。この正四面体を4つの平面PQR, RUS, PST, QTUで切ってできる立体PQRSTUが正八面体であることを示す。

幾何学正四面体正八面体空間図形中点辺の長さ正三角形

2025/8/4

1. 問題の内容

正四面体ABCDの各辺の中点をP, Q, R, S, T, Uとする。この正四面体を4つの平面PQR, RUS, PST, QTUで切ってできる立体PQRSTUが正八面体であることを示す。

2. 解き方の手順

正八面体であることを示すためには、PQRSTUの各辺の長さが等しく、各面が正三角形であることを示せばよい。

ステップ1: 辺の長さが等しいことを示す。

* P, Q, R, S, T, Uは各辺の中点なので、PQ, QR, RP, ST, TU, USはそれぞれ元の正四面体の辺の長さの1/2となる。

* 同様に、PS, PT, QU, QT, RU, RSも元の正四面体の辺の長さの1/2となる。

* したがって、PQRSTUのすべての辺の長さは等しい。

ステップ2: 各面が正三角形であることを示す。

* ステップ1より、PQR, RUS, PST, QTUはそれぞれ正三角形。

* 同様に、各頂点が辺の中点であることから、四面体の中にある残りの面も正三角形であることがわかる。

3. 最終的な答え

以上のことから、立体PQRSTUは各辺の長さが等しく、各面が正三角形であるため、正八面体である。

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