長方形ABCDにおいて、$AB=12$ cm, $AD=24$ cmである。点PはAB上をAからBへ毎秒1cmの速さで、点QはBC上をBからCへ毎秒2cmの速さで動く。P, Qが同時に出発するとき、以下の問いに答える。 (1) 出発してから2秒後の三角形PBQの面積を求める。 (2) 三角形PBQの面積が24 cm$^2$になるのは、出発してから何秒後かを求める。 (3) 三角形PBQの面積が長方形ABCDの面積の$\frac{1}{8}$になるのは、出発してから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、$AB=12$ cm, $AD=24$ cmである。点PはAB上をAからBへ毎秒1cmの速さで、点QはBC上をBからCへ毎秒2cmの速さで動く。P, Qが同時に出発するとき、以下の問いに答える。

(1) 出発してから2秒後の三角形PBQの面積を求める。

(2) 三角形PBQの面積が24 cm$^2$になるのは、出発してから何秒後かを求める。

(3) 三角形PBQの面積が長方形ABCDの面積の$\frac{1}{8}$になるのは、出発してから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 2秒後のPBの長さを計算する。点Pは毎秒1cmで動くので、2秒後には$AP = 2$ cm。したがって、$PB = AB - AP = 12 - 2 = 10$ cmとなる。点Qは毎秒2cmで動くので、2秒後には$BQ = 2 \times 2 = 4$ cmとなる。

三角形PBQの面積は、$\frac{1}{2} \times PB \times BQ$で計算できる。

(2) $t$秒後のPBの長さは、$12 - t$ cm、BQの長さは、$2t$ cmとなる。

三角形PBQの面積が24 cm$^2$になる時を考えると、

$\frac{1}{2} \times (12 - t) \times 2t = 24$

$(12 - t) \times t = 24$

$12t - t^2 = 24$

$t^2 - 12t + 24 = 0$

これを解の公式で解くと、$t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \times 24}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{3}$

$0 < t < 12$かつ$0 < 2t < 24$を満たす必要があるので、$0 < t < 12$となる。

$2\sqrt{3} \approx 2 \times 1.732 = 3.464$なので、$t = 6 + 2\sqrt{3} \approx 9.464$ と $t = 6 - 2\sqrt{3} \approx 2.536$ は共に条件を満たす。

(3) 長方形ABCDの面積は$12 \times 24 = 288$ cm$^2$。

三角形PBQの面積が長方形ABCDの面積の$\frac{1}{8}$になる時を考えると、

$\frac{1}{2} \times (12 - t) \times 2t = \frac{1}{8} \times 288$

$(12 - t) \times t = 36$

$12t - t^2 = 36$

$t^2 - 12t + 36 = 0$

$(t - 6)^2 = 0$

$t = 6$

$0 < t < 12$かつ$0 < 2t < 24$を満たすので、$t=6$秒後が答え。

3. 最終的な答え

(1) 20 cm$^2$

(2) $(6 + 2\sqrt{3})$秒後、$(6 - 2\sqrt{3})$秒後

(3) 6秒後