$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、次の式を証明します。 $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、次の式を証明します。

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$

2. 解き方の手順

重心 $G$ の位置ベクトル $\vec{g}$ は、$\triangle ABC$ の頂点 $A, B, C$ の位置ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて、

$$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$

と表されます。

この式を変形すると、

$$3\vec{g} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$$

となります。

次に、$\vec{GA}, \vec{GB}, \vec{GC}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{g}$ で表します。

$$\vec{GA} = \vec{a} - \vec{g}$$

$$\vec{GB} = \vec{b} - \vec{g}$$

$$\vec{GC} = \vec{c} - \vec{g}$$

これらのベクトルを足し合わせると、

$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g}) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{g}$$

$3\vec{g} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ なので、

$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = 3\vec{g} - 3\vec{g} = \vec{0}$$

したがって、$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$